浅析平面法向量在立体几何中的应用

宋永东

在近年来的高考数学试卷中，经常出现线面角、线线角、二面角以及线与面、面与面位置平行垂直的关系证明等空间立体几何问题，使用常规的解法十分繁琐，且很容易出错，而采用平面法向量则能有效简化该类问题，将繁杂的几何问题转化为向量问题，再通过向量计算，得出答案，最后转换成几何意义，这样做能减轻学生空间想象的难度，收到化难为易的实际效果，并能提升学生计算的准确性。因此，在高中数学教学中，平面法向量知识是值得教师深入挖掘的一个解题方法。

1 平面法向量的概念及求法

1.1 平面法向量的定义

在三维平面中，法线是垂直于该三维平面的向量。曲面在某点的法线为垂直于该点并切平面的向量。而法线是与多边形曲面垂直的一条理论线。如果一个非零的向量n与平面a垂直，那我们就称向量n是平面a的法向量。在实际中，任何一个垂直于平面的直线，其所表示的向量都可称为该平面的法向量。在三维平面中，任一个平面都存在着无限个法向量。但如果某一曲面在某一点上没有切平面，那么在该点就没有法线，也就不存在法向量。

2 用平面法向量解决立体几何问题的步骤

在解决立体几何问题时，我们首先要建立一个空间平面直角坐标系，然后利用题目给出的三条两两垂直的直线，使用空间向量表示该题目中涉及到的点、线和面，这样就能将立体几何问题转化成为向量问题；其次，我们要进行向量计算。通过研究空间平面直角坐标系中的点、线和面位置的关系以及三者彼此间的距离与夹角问题，进行向量的运算；最后，我们在把向量运算的结果“翻译”成为相应的几何意义，回归到图形的问题。

3 平面法向量在高中立体几何解题中的具体应用

3.1 求距离和角度问题中的应用

4 結束语

在课程改革的背景下，培养学生的学科核心素养是教学中重要的任务和目标。在高中数学的教学中，要想发展学生的数学核心素养，首先要培养学生的数学思维，而这其中，培养学生利用平面法向量解决立体几何问题是一种有效的数学思想，在求点到面或线到面的距离、线面角、线线角、二面角以及线与面、面与面位置平行垂直的关系证明等立体几何问题时，都能有效降低解答问题的难度，并简化解题的步骤，同时还能有效提升解题的速度和准确度。因此，教师要重视平面法向量的讲解，引导学生学会运用该方法解决立体几何问题。

（作者单位：浙江省台州市九峰中学）