挖掘数学文化内涵 改革数学教学实践

杨涛 殷娴

解析几何是数学最基本的分支学科之一，是近代变量数学发展史上一个重要的里程碑，是数学方法论上一次大的飞跃，也是科学技术最基本的数学工具之一。本文通过追溯解析几何产生和发展的历史，剖析其核心概念和基本思想，挖掘其蕴含的文化内涵，以改革平面解析几何的教学实践。

《普通高中数学课程标准》明确提出：数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。

解析几何是17世纪最重要的数学成就之一，在数学史上具有划时代的意义，具有丰富的文化价值和教育价值。高中阶段设置平面解析几何课程，对学生的科学素养、文化认知水平的提高有着特殊的教育意义。

1 解析几何产生和发展的历史背景

数学史上，笛卡儿与费马被公认为解析几何的共同创始人。1637年，笛卡儿发表了《几何学》，1679年法国数学家费马发表了《平面与立体轨迹引论》（完成于1636年以前），他们在同一时期从不同的角度阐述了解析几何原理，他们的这种不约而同，蕴含着解析几何思想产生的深刻历史文化背景。

十七世纪，欧洲社会孕育着空前的变革活力，文艺复兴使科技文明获得新生。新的生产技术的应用也带来了许多实际问题，要求数学给予理论上的证明；天文学、力学等一系列的新发现，航海、军事的需要，使计算成为必需，对数量工具的需求变得非常迫切。当时的数学是一个几何体系，其核心是欧氏几何，代数则居于附庸的地位。欧氏几何虽有严密的公理化逻辑体系，但仅局限于对直线和圆所组成图形的演绎，面对椭圆、抛物线这些新奇图形，要求数学从运动变化的观点研究问题，欧氏几何显得力不从心，于是促使人们去寻找解决问题的新方法。

笛卡儿和费马恰恰就生活在这样一个时代。笛卡儿（Descartes），他以哲学家的眼光审视数学，坚信只有数学可以提供获得必然结果以及有效地证明其结果的方法。他研究数学，目的是想寻找一种能在一切领域里建立真理的方法。他怀疑批判，认为以往的几何、代数研究存在很大的缺陷：欧氏几何中没有普适的证明方法，而代数方法虽具一般性，但它完全受控于法则和公式，代数与几何必须互相取长补短。他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的方法论方面要高于几何方法，因此代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。于是，他提出了一个计划，即任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

费马（Fermat），他提出要发起一个关于轨迹的一般研究，并考虑用代数来研究曲线。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出现两个未知量，就可以用其中一个量来描绘一条直线或曲線所表示的轨迹。费马明确使用了坐标概念，把希腊数学中使用立体图苦心研究所发现的曲线的特征，通过引进坐标以一贯的方式译成代数语言，进而研究曲线的性质，使得各种不同的曲线有了代数方程这种一般的表示方法和统一的研究手段，实现了几何问题的代数化。

与任何新的发明创造一样，解析几何思想的形成也是经历了时间的检验才为数学界所认可的。人们开始使用它，并在解析几何思维方式的影响下进一步发展它。例如：John Wallis在《论圆锥曲线》中第一次得到圆锥曲线的方程，他强调代数推理是独立有效的，并不需要依靠几何的证实；Newton在《流数法与无穷级数》中第一次引进了类似于极坐标系的新坐标系；Jacob Hermann用极坐标研究曲线，还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式；Euler在他的名著《引论》中引进了曲线的参数表示，对平面解析几何进行了系统讨论；进一步地，空间解析几何也得到了很大的发展，Clairaut在《关于双重曲率曲线的研究》一书中，给出了一些曲面的方程……解析几何内容得到了不断的充实和完善。

2 解析几何的核心概念和基本思想

解析几何得以建立，需要有一定的基础，即建立实数与直线上的点以及有序实数对与平面上的点之间的一一对应。很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量、希腊人用于绘制地图的坐标，14世纪法国人奥雷姆试图用图线来表示变量之间的关系等。但在明确提出上述两个对应之前，人们无法用代数方法来研究几何问题。

笛卡儿和费马解决了贯彻这两个对应的方法问题，那就是建立坐标系。利用坐标系将点表示为有序数组，建立平面上的点与有序数组之间的一一对应，由此将曲线（包括直线）表示为一个方程，然后借助于代数的运算和变换，对这些数、代数式及方程之间的关系进行讨论，再把讨论的结果翻译成相应的几何结论。通过坐标系建立曲线（包括直线）与方程的相互联系，实现几何问题的代数化和代数问题的几何化，使几何和代数得以关联，实现数与形的完美结合。

3 解析几何蕴含的文化内涵

首先，从数学哲学的角度看，解析几何的产生和发展折射出数学的内在本质：数学是一种文化的积淀、传承和发展，它受惠于历史并创造历史。数学是一种理性精神，它给人们数学地探索宇宙以信念。统一是数学的美学要求，追求统一是数学活动的本质，对数学对象和本质的价值评价是数学发展的动力。

其次，从数学自身发展的角度看，解析几何产生和发展的历史体现了数学的科学价值：（1）变量的引入开创了近现代数学的先河。笛卡儿将二元方程 中的 看作变量（尽管他未使用这个术语），实现了由常量数学过渡到变量数学的转折，使以往数学中无法描述的动态问题通过变量得以解决，使数学研究扩充到了运动领域，宣告运动数学进入了新时代。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”（2）数与形的结合揭示了数学内在的统一性。在解析几何基本思想的指引下，一个几何对象被数（坐标）所完全刻画，几何概念可以表示为代数形式，几何目标可以通过代数方法来达到；反过来，它使代数语言得到了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，可以帮助人们更好地理解数，并在形的启发下提出新的结论。“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。（拉格朗日语）”（3）几何问题代数化提供了一种解决问题的普适方法。希腊几何中的许多问题都是个别解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法作一般性的处理。例如，三等分任意角、化圆为方、倍立方体三大尺规作图难题，用代数就可以漂亮迅速地决定它们能还是不能，而离开代数，决定几乎是不可能的。而有些几何曲线，例如旋轮线、对数曲线、对数螺线等，如果不用解析几何的方法，我们将根本无法知道怎么去研究它们的性质。解析几何有一套发现数学定理的统一有效且好用的方法，吴文俊院士高度重视解析几何思想，他创立的“数学机械化方法”获第一届国家最高科学技术奖，他开创了用计算机证明所有已知平面几何定理的先河。1995年他提出：“中学应该赶快离开欧几里得，欧氏几何让位于解析几何。”

再次，从创造心理学的角度看，解析几何产生和发展的历史展示了数学家创造活动的心路历程：（1）坚定的信念，执着的追求。笛卡儿曾多次表明他的数学信念，他认为：数学是宇宙的语言；数学方法是获得一切科学知识和解决一切科学问题的普遍工具；代数是一门具有普通意义的潜在的方

法的科学；取代数与几何之精华，建立普遍的、统一的“通用数学”……这种信念直接影响了笛卡儿数学思想的形成和发展。（2）观念的选择。笛卡儿认识到代数是具有普遍意义的潜在的方法科学，把数学看作方法的科学，并把数学方法当作演绎推理的工具，将代数推理方法和逻辑相结合，使之成为普遍的科学工具。他认为“应该存在着某种普遍科学，可以解释关于秩序和度量所能够知道的一切，它同任何具体题材没有牵涉，可以叫做普遍数学。因为它本身就包含着其他科学之所以也被称为数学的组成部分的一切。” 这样一种普遍的科学方法与数学密切相关却又不是数学，它在方法论上要比作为一种知识的数学更为基本，解析几何具有浓厚的方法论色彩。（3）对美的追求。数学的发现和发明，既是审美的过程也是塑造美的过程。解析几何思想，体现了数学的简约美与和谐美，而蕴涵其中的是数学家在数学立意、数学思维和数学方法上独特的审美追求。

4 新课程下平面解析几何的教学实践

解析几何具有广泛而深刻的文化内涵，但在高中解析几何教材中，却很难看到其思想形成和发展的历史踪迹，因此在解析几何教学中应渗透解析几何的思想。

首先，在课程教学的启动环节，以解析几何思想的文化内涵为素材驱动解析几何教学，可以让学生对解析几何产生的文化和历史背景、基本思想和学科特点以及数学家创立解析几何时的数学信念、价值判断、审美追求、数学思维等有一个整体的认识，为学生营造一个渴望认知、理解和掌握知识的富有吸引力的学习情境，从而激发学生学习的原动力，为解析几何思想的全面展开奠定基础。

其次，在数学教学过程中还应该重视微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。教材中有许多体现解析几何思想的好素材，例如：直线是解析几何的基础部分，通过用代数方法讨论两条直线的位置关系初步体会数形结合思想，为进一步研究圆锥曲线及后续知识提供了范式。在教学点到直线的距離公式时，可以启发学生先从几何角度观察思考，寻找解决思路，再利用坐标法解决，避免繁琐运算。为了研究各种曲线的性质，通过求符合条件的曲线的轨迹方程，让学生体会曲线和方程的关系，实现求曲线方程的完备性和纯粹性。在圆锥曲线的教学中，椭圆具有典型性，对双曲线和抛物线的研究可以通过类比椭圆的研究来完成。而极坐标系的引入，使三种圆锥曲线得以统一，从而揭示了三种圆锥曲线的关系，深化对圆锥曲线的本质认识等等。

只有当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学才会更加平易近人，数学教学才能通过文化层面让学生进一步理解数学、热爱数学。

（作者单位：无锡城市职业技术学院）