矩形折叠问题的深度探析

朱晓勤

折叠问题是中考中的一个热点问题，最常见的是矩形折叠，它对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了较高的要求。折叠操作，简单的说，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，变换前后两个图形全等，折痕就是对称轴，对称轴是对应点连线的垂直平分线。折叠更突出了轴对称问题的应用，所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。

矩形折叠存在着翻折前后两个图形全等，下面我们继续探究，还会发现以下结论。

例如：在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠，

若点B落在线段CD的点F处，这时有∠AFE=90°，从而有△ADF∽△EFC。

那么，当点F不落在边CD上时，点E是BC边上的一个动点，我们会发现，这样的翻折有无数多种，即折痕是不固定的，但根据轴对称的性质，AF始终等于AB，所以点F运动的路径是以A圆心，AB为半径的圆。

根据对称性，可以知道BF⊥AE，因此在矩形折叠中存在以下重要的结论。

1.两点一线，构成十字形。

对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。

2.图中无圆，心中有圆。

翻折中，绕着某个点翻折的过程，就相当于绕着这个点旋转，即形成隐形圆。

在解题过程中，我们灵活利用上面的结论，会收到意想不到的收获，使复杂问题简单化。

一、利用“十字形”，化难为简

（1）如图1，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长。

（2）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4。直接写出下列两题的答案：

①如图2，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=_______；

②如图3，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=________。（用n的代数式表示）

分析：第（1）题，连接AE，根据翻折的性质可得AE⊥NM，所以过点N作NH⊥AD于H，然后利用“角边角”即可证明△ADE和△NHM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，从而求出MN=13。

第（2）题，由第一题得到启发，构造互相垂直的两边所在的直角三角形相似。所以过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，利用相似三角形对应边成比例即可求得GH=2EF=2×4=8，第三题类比可得GH=NEF=4N。

在折叠中，对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。因此，通过构造以“十字形”为斜边的相似三角形，列出比例式，建立方程，求得线段长。

二、隐圆显现，为解题插上翅膀

如图5，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，B（8，6），D（2，6），E（6，6），点F（t，0）是射线OA上的一个动点，将四边形OCDF沿直线DF翻折，O、C两点关于直线DF的对称点O′，C′，是否存在某一时刻，使得点O′落在第一象限，并在矩形OABC边所在的直线上？若存在，直接写出所有t的值；若不存在，请说明理由。

分析：本题难点是根据题目条件画出图形，由折叠的特征知道，点O′在以D为圆心，OD为半径的圆上，与矩形边所在直线相交有五种情况，落在第一象限的有三种情况。

由折叠可知，不论哪一种情况，DF始终垂直平分OO′，因此当点O′位置确定下来之后，DF的位置也就容易确定。

当点O′落在直线BC上时，如图6，因为直线DF垂直平分OO′，又直線BC平行于x轴，得到四边形ODO′F是菱形，所以有OD=OF，所以t=2。

当点O′落在直线AB上时，点O′在点B上方时，如图7，由于△O′BD≌OCD，所以O′B=CD=2，则有O′A=OA，那么OO′的中垂线经过点A，此时点F与点A重合，t=8；当点O′落在点B下方时，如图8，此时同样有O′B=CD=2，O′A=4，再由“十字形”模型构造相似，即可求得点F的坐标，得t=5。

折叠问题中辅助圆的运用，实现了在解题中准确画出所需要的图形，并使抽象问题具体化，分类问题变得简单，从而突破了折叠问题难点。

折叠类问题，题型多样，变化灵活，知识点多，蕴含着丰富的数学思想方法。“对称的东西要尽量对称地处理，不要随意破坏自然的对称性。——波利亚”，因此，在解决折叠问题时，首先要把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，将其中的基本数量关系用方程的形式表示出来，从而使问题得以解决。