防空反导装备抢修任务分配建模

左文博， 赵英俊， 张建行， 和 柳

(空军工程大学防空反导学院， 陕西 西安 710051)

防空反导作战空防体系对抗激烈，装备战损严重，然而防空反导装备战场抢修力量极为有限，如何在争分夺秒的战场环境下快速实施装备抢修，合理地分配和调度装备抢修任务，以最短的时间恢复装备战斗力是当前亟待解决的问题。文献[1-3]作者针对战时维修任务的动态调度问题，分别以最短维修保障时间和维修效益为目标函数建立了维修任务调度模型，并采用不同的调度算法进行求解；刘文宝等[4]根据维修工序特点建立了以总维修工时最短为目标函数的维修任务规划模型，提出了维修任务规划策略；吕学志等[5]应用离散事件仿真方法建立了伴随修理仿真模型，研究了伴随修理中的维修任务调度策略；张芳玉等[6]针对战时装备维修任务指派问题，建立了整数线性规划模型。上述研究为防空反导装备抢修任务分配问题研究提供了一定的参考借鉴，但仍存在以下不足：1)多以单台装备为研究对象，对装备系统的研究较少；2)所建模型与实际情况差别较大，实用性、针对性不强；3)计算过程复杂，计算量大，算法效率不高，难以满足防空反导装备战时抢修任务分配要求。

防空反导装备是由预警探测、指挥控制、火力拦截、支援保障等功能装备组成的复杂武器系统。战时装备系统受到损伤时，其多个抢修任务之间也存在关联性和约束性。由于战时装备抢修具有时间紧迫、任务繁杂等特点，分配抢修任务时要求快速完成抢修任务和抢修力量的分配调度，并在有限的资源条件下合理制定抢修方案。笔者将防空反导装备抢修任务分配问题分为单人多事型、多人一事型和规定抢修顺序型3类，针对各类问题的特点采用不同的方法求解其最优解，并综合得到全局最优解，以期为部队实施抢修任务分配决策提供一种理论支撑和方法借鉴。

1 防空反导装备抢修任务分配问题分析

1.1 防空反导装备的功能结构

防空反导装备是复杂的体系装备，主要包括目标指示雷达、制导雷达车、指挥控制车、发射车、导弹及电源车等。防空反导装备通过多个装备之间的协同配合来完成防空反导作战任务，实行的是“全营一杆枪”，各个装备的功能性及其相互之间的信息关联度极强，功能关系复杂，图1为防空反导装备典型的作战功能结构。在战时，防空反导装备营均配备一定数量的伴随抢修力量，即应急抢修分队，一般根据装备的重要程度和战损评估结果来分配抢修力量，完成战场抢修任务。

1.2 抢修任务的特点

战时空防对抗条件下，防空反导装备的抢修任务呈现出以下3个特点：

1)抢修时间的紧迫性。防空反导作战节奏非常快，通常采取“进、打、撤、走”的作战方式，对装备的战备完好性要求极高，如何在最短时间内实施抢修并恢复战斗力，是维修保障的第一要务，因此应以抢修任务时间最短为目标，对抢修任务进行科学调配。

2) 抢修任务的优先性。虽然防空反导作战是典型的体系装备作战，但装备重要度不同，抢修任务的优先级也不同。由于抢修时间的紧迫性，当需要完成多个抢修任务时，必须对抢修任务的优先级进行排序。优先抢修任务优先级别高的装备，再抢修任务优先级别较低的装备，且由于抢修任务间具有一定的关联性和约束性，因此必须考虑抢修任务的实施顺序。

3) 抢修力量的约束性。防空反导装备抢修以现场换件方式为主，抢修力量主要依托本级装备操作使用人员和维修保障人员。由于战场环境的复杂性和特殊性，操作使用人员和维修保障人员的数量有限，各种维修保障资源配置也会受到战场环境的限制。

1.3 抢修任务分配类型

防空反导装备抢修任务分配是在抢修任务的优先级和抢修力量的约束下，以抢修时间最短为目标的优化决策问题，根据抢修任务的种类，抢修任务分配可分为如下3种基本类型:

1) 单人多事型。单人多事型战场抢修任务是指由单个抢修人员独立完成的抢修任务，单个战场抢修人员可完成多个战场抢修任务。该类抢修任务是防空反导装备战场抢修的基本任务类型，在所有抢修任务中所占比例较高，适合较为简单的抢修任务，如装备供电系统、车辆底盘或某一单独组合件的抢修，均可由单人独立完成。

2) 多人一事型。多人一事型战场抢修任务是指由单个抢修人员无法独立完成，需要2个以上抢修人员协同配合才能完成的抢修任务。该类抢修任务主要出现在复杂的装备单元子系统中，如制导雷达的相控阵天线和导弹发射车液压系统的抢修任务等，需要多人之间相互配合才能实施抢修。

3)规定抢修顺序型。有规定抢修顺序的战场抢修任务是指抢修任务间存在先后顺序。因为该类抢修任务之间存在固定的抢修流程，所以如果前一项抢修任务未完成，则后一项抢修任务无法展开，如导弹发射车软件系统和硬件系统的抢修，需要先完成软件系统的抢修，再进行硬件系统的抢修，通过软件系统来测试硬件系统的性能，最终完成抢修任务。

2 防空反导装备抢修任务分配模型

一组抢修任务可能包含上述3种抢修任务分配类型，各个类型均具有不同的特点，且各类型间可能存在相互叠加的问题。笔者根据防空反导装备抢修任务分配类型的特点，分别建立单人多事型抢修任务分配的模型、多人一事型抢修任务分配流程和有规定顺序的抢修任务分配方案，采用不同方法先求得各自的最优解，然后综合得到全局最优解。

2.1 单人多事型抢修任务分配模型

对于单人多事型抢修任务，假设有m个战场抢修人员承担了n项可独立完成的战场抢修任务，且n>m，即1个战场抢修人员可以承担多项战场抢修任务。令M={M1,M2,…,Mm}，为战场抢修人员集合；N={N1,N2,…,Nn}，为根据抢修任务优先级别排序而建立的有序抢修任务集;tij(i=1,2,…，m;j=1,2，…，n)，为抢修人员Mi完成抢修任务Nj的时间。以总维修时间最短为目标函数，建立单人多事型抢修任务的分配模型如下：

(1)

(2)

式中：

单人多事型抢修任务分配模型为非平衡态任务指派模型，通常采用增加虚拟人员的方法，将其转化为平衡态任务指派模型进行求解。即当n>m时，采用补项法虚拟出n-m个抢修人员，并设其工作时间为0，然后利用匈牙利算法求解最优解，同时保存其中前m个有效解，删除后面的n-m个无效解。剩余的未进行任务分配的n-m个抢修任务与m个抢修人员构成新的指派问题，依此类推进行求解。但是，由于战时防空反导装备抢修任务数比抢修人员数要大得多，若通过虚拟人员法转化为平衡态任务指派模型，并运用标准的匈牙利解法求解最优解，其计算量将十分庞大，且求解结果可能会出现无法全部完成抢修任务的情况，不适用于时间紧迫的战场抢修任务分配问题。为此，笔者综合借鉴文献[6-7]的研究结果，对非平衡态任务指派模型进行改进，通过增加虚拟任务的方法构造新的平衡态任务指派模型，对非平衡态任务指派模型进行快速有效的求解。

当n>m时，设n=km-d，其中：k≥2；0≤d

(3)

对应地，再将抢修人员数量m形式上扩展为k×m个，则最终平衡态的抢修成本矩阵

(4)

则单人多事型抢修任务的指派模型可改进为

(5)

(6)

改进的单人多事型抢修任务指派模型为最优平衡态任务指派模型，以T为抢修成本矩阵的k×m个抢修人员执行k×m个抢修任务，即可运用标准的匈牙利算法[8]求得最优解。

2.2 多人一事型抢修任务分配流程

多人一事型的抢修任务是指必须由多人配合才能完成的任务。设m个战场抢修人员承担了n项必须由多人配合才能完成的抢修任务，其中第Ni项抢修任务需要k个抢修人员共同完成，可分为以下3种情况：

1) 当k>m时，抢修任务无法执行，需要增加更多的抢修人员参与抢修工作。

2) 当k=m时，抢修任务可执行，该任务应赋予最高的优先级，在单人多事型抢修任务前就进行抢修。

3) 当k

图2为利用排队论建立的多人一事型抢修任务分配流程。首先，按照抢修任务优先级由高到低的顺序对抢修任务进行排序，建立有序抢修任务集；然后，按照抢修人员能力高低排序进入抢修任务分配等待序列，并按照抢修任务的优先顺序对抢修任务集中的抢修任务进行分配；最后，根据任务要求的人数判断是否满足条件，并根据前一项任务完成情况判断是否对该任务进行分配，若不符合条件，则返回，若符合条件，则对抢修人员进行任务分配，依次执行，直至完成所有抢修任务，并计算总抢修时间。

2.3 有规定顺序的抢修任务分配方案

对于有规定顺序的抢修任务，其子任务可分为单人多事型和多人一事型抢修任务，并可按照上述抢修任务分配模型和流程进行任务分配，其任务分配方案有以下3种情况：

1) 有规定顺序的单人多事型抢修任务。该类抢修任务可按照任务分配方案对抢修任务进行排序并优先完成。由于抢修人员是执行任务的主体，当任务列表中遇到不可执行的任务时，则将该任务分配给其他抢修人员，该抢修人员继续进行任务分配，若2个任务之间可能存在关联性，为了减少延误时间，可以根据已分配给其他抢修人员任务的抢修进度，适时为初始抢修人员继续安排后续抢修任务。

2) 有规定顺序的多人一事型抢修任务。对于该类抢修任务，首先将抢修任务按照优先级别由高到低的顺序排序，然后根据图2所示的分配流程，便可得到有规定顺序的多人一事型抢修任务的分配方案。

3) 有规定顺序的混合型抢修任务。该类抢修任务在防空反导装备战场抢修中较少，一般有2种情况：若单人多事型抢修任务在多人一事型抢修任务之前，则对单人多事型抢修任务进行编号，并加入单人多事型抢修任务分配队列进行分配，然后再开始多人一事型抢修任务的分配；若单人多事型抢修任务在多人一事型抢修任务之后，则按照图2所示的流程和多人一事型抢修任务进行抢修任务分配。

3 算例分析

假设在某次防空作战中，防空反导装备遭遇敌方火力打击，经战损评估战场抢修任务共有12个，其中：单人多事型抢修任务9个，多人一事型抢修任务3个，包含有规定顺序的战场抢修任务有2组。精通该装备战场抢修的人员有4人，抢修人员执行单人多事型抢修任务时间如表1所示，多人一事型抢修任务所需抢修人员数量及抢修任务时间如表2所示。2组规定顺序的抢修任务分别为：1)抢修任务N3必须在抢修任务N9完成之后才能进行；2)抢修任务N11必须在抢修任务N1与N5均完成之后才能进行。

表1 抢修人员执行单人多事型抢修任务时间 h

表2 多人一事型抢修任务所需抢修人员数量及抢修任务时间

该算例是一个典型的3种抢修任务分配类型共存的混合问题。在多人一事型抢修任务中，N10需要4个抢修人员共同抢修，且没有固定的抢修流程，应排在抢修序列首位。N11在可独立完成的抢修任务N1与N5之后，可与不涉及抢修流程的抢修任务N12一起进入多人一事型抢修任务的分配，并在单人多事型抢修任务完成后进行抢修。单人多事型抢修任务中，N9、N3有固定的抢修顺序，并将其编号为N9a、N3b。

1) 单人多事型抢修任务分配

按照目标函数建立数学模型，n=9，m=4，各抢修人员的维修成本矩阵T=(tij)4×9，由于9>4，且9=3×4-3，即令k=3，d=3，则增加了3项虚拟任务，k×m=12，则可将表1的问题转化为式(5)所示的平衡态任务指派模型，利用匈牙利算法可得：

(1)x18=x19a=1，即可指派抢修人员M1完成任务N9a和N8，根据图2所示的流程，则M1可依次完成战场抢修任务N10、N9a、N8。其中，完成抢修任务N9a的时间为2.9 h，总抢修时间为4.4 h。

(2)x23b=x66=x10,7=1，即可指派抢修人员M2完成任务N3b、N6、N7。根据图2所示的流程，N3b在任务N9a开始2.9 h后才能进行抢修，则M2可依次完成任务N7、N6、N3b，总抢修时间为6.7 h。

(3)x31=x74=1，可指派抢修人员M3依次完成任务N1和N4，总抢修时间为7 h。

(4)x42=x85=1，可指派抢修人员M4依次完成任务N2和N5，总抢修时间为6.4 h。

2) 多人一事型抢修任务分配

由上述分析可知：抢修任务N12可在6.4 h后由抢修人员M1和M4进行抢修，完成时间为0.5 h；抢修任务N11可在6.9 h后由抢修人员M1、M2和M4进行抢修，完成时间为1.5 h。

3) 抢修人员抢修任务分配方案和抢修时间

M1：N10(与M2、M3、M4合作)，N9a、N8，N12(与M4合作)，N11(与M2、M4合作)；抢修时间为8.4 h。

M2：N10(与M1、M3、M4合作)，N7、N6、N3b，N11(与M1、M4合作)；抢修时间为8.4 h。

M3：N10(与M1、M2、M4合作)，N1，N4；抢修时间为7 h。

M4：N10(与M1、M2、M3合作)，N2、N5，N12(与M1合作)，N11(与M1、M2合作)；抢修时间为8.4 h。

综上所述，当抢修任务下达后，根据上述抢修任务分配方案，经过8.4 h，防空反导装备可恢复战斗力。抢修人员的抢修任务分配甘特图如图3所示。

4 结论

防空反导装备作为典型的复杂装备系统，其抢修任务之间存在着关联性和约束性，抢修任务分配问题具有一定的特殊性和复杂性。笔者以单人多事型抢修任务分配为基础，采取不同方法研究了不同类型的抢修任务分配问题，方法简单可行，能够为防空反导装备抢修任务分配决策提供参考。后续将重点研究在不同维修专业条件限制及考虑增加支援抢修力量的抢修任务分配问题，以便使所得的抢修任务分配方案更加符合防空反导作战的实际情况。