空间几何体的截面

张小蓉 张秀蓉

高考文科数学对学生的空间想象能力有较高的要求，近几年有多地的文科数学高考中直接或间接地出现了作图题，其中如何做出空间几何体的截面更是重难点.

如2015年全国卷Ⅱ，第19题：

如图1，长方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

那如何作出一个几何体的截面？首先，截面的边界必在几何体的表面，作截面的本质是找出平面与几何体表面的交线；其次，判断平面与几何体的哪些表面有交线，由公理三可知两个平面若有一个交点，必有一条交线；最后，作出交线即可.笔者将作交线分出以下两种题型：

一、相交型

例1.（2015秋·石景山区期末）如图2，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点.现因实际需要，需要将其沿平面D1EC将木块锯开.请你画出平面D1EC截正方体的截面.

解法一：1.判断线段EC并不在正方体表面，点C为平面D1EC与平面ABCD的交点，所以平面D1EC与平面ABCD存在交线；

2.显然点C对边D1E与平面ABCD不平行；

3.在平面A1D1DA内，延长D1E与直线DA相交于点F，则直线CF与直线AB相交于点G，联结EG；

则易得四边形CGED1为所求截面

二、平行型

同样我们观察例1，有解法二：

1.判断线段EC并不在正方体表面，点E为平面D1EC与平面A1B1BA的交点，所以平面D1EC与平面A1B1BA存在交线；

2.且显然点E对边CD1与平面A1B1BA平行；

3.在平面A1B1BA内，过点E作直线与直线CD1平行，与直线AB交于点G，联结CG；

则易得四边形CGED1为所求截面.

从例1的解答中，我们可以总结出，要得出两平面的交线，只需先找出一个交点，并判断该点的对边与平面是否平行，并相应地作延长线或平行线即可.

除了题目直接要求作出截面或交线以外，以下两个题型也与截面有关：

例2.如图3，四棱锥P-ABCD中，点E，F分别为线段CD，PB的中点，在线段PC上是否存在一点Q使得AFQE四点共面，若存在求的值，不存在请说明理由.

解题思路：延长AE交BC于点G，联结FQ交PC于点Q，即所求；

易得点Q是三角形PBG的重心，所以=2.

例3.如图4，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，AB=AC；

点D为线段BC1的中点，证明：BC⊥平面AA1D.

解题思路：将三角形AA1D扩大至截面，易证.

如例2，例3，立体几何中很多题目的难点在于如何找出平面相关的平行和垂直关系，有时将图形扩大至截面可使问题迎刃而解.

？誗编辑 李建军