破茧成蝶，路在何方

白子彦

自实施新课改以来，创新意识就是高考数学考查的能力之一，伴随着课程改革的脚步，新课标Ⅱ卷中的创新立意的试题如缕缕清风，拂面而来，它们题意鲜明，背景丰富，寓意深厚，解法灵活多样，构成了新课标Ⅱ卷的一道靓丽的风景线，特别是理科第17题，这是一道集数列的递推公式、等比数列的定义、通项公式、及非特殊数列求和等问题于一体的综合性试题，研究好题如沐春风，此题看似平淡，却精彩纷呈，看似常规，却彰显能力，是一道值得研究的好题，下面从试题命制背景、解题思维形成的几种途径、变式提升入手进行探究。

题目（2014年高考数学理科新课标Ⅱ卷17题）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1

（Ⅰ）证明：an+是等比数列，并求an的通项公式

（Ⅱ）证明：++…+<

命题给出答案如下所示：

（Ⅰ）由an+1=3an+1得an+1+=3（an+），又a1+=，所以an+是首项为，公比为3的等比数列，an+=，因而an通项公式为an=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知=，因而n≥1时，3n-1≥2·3n-1>0，所以≤。

则++…+≤1+++…+=（1-）<

即++…+<

该题的解决，将3n-1缩为2·3n-1，即3n-1≥2·3n-1，进而得到不等式的证明，但这个不等式是如何想到的呢？由于过程过于简捷，又给放缩法增添了一层神秘的色彩。因此阐述这个不等式是如何放缩而来的是有必要的。

人民教育出版的普通高中课程标准实验教科书数学（必修）中，主编寄语中有这样一段话：如何才能学好数学呢？我们首先应当对数学有一个正确的认识①数学是自然的，②数学是清楚的。笔者对这句话的理解是：数学本身是自然的，我们用数学知识分析和解决问题时，也应力求解题思想的自然流露和解题过程的自然流淌。水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。笔者是这样思考的：不等式左边是数列前n项和，由（Ⅰ）知=又见数列既不是等差和等比数列，也不是记忆中能够求和的杂数列。

通过先求和再进行证明难以实现解题目标，所以需要研究通项放缩后再求和，观察=我们发现数列与等比数列之间只有一步之遥，若把中的1丢掉放缩为，可以得到一个等比数列的通项，问题是把中的1丢掉后分子不变，分母变大，放缩后分数值将变小，又距目标将越来越远，能否让中的1消失同时又放大？

方法：构证等比数列证明。

将要证明的不等式右边转化为一个无穷等比数列的和，设该数列首项为a1，公比为q，（0

由于-=-==≥0，则≥，故++…+≤1+++…+=（1-）<

研究高考试题的背景，就是要深挖题源，研而不倦。高考试题的背景是通过不同知识载体来实现和依托不同方式呈现的，只有我们弄清问题的本质，才能有正确的求解思路和方法。这道数列题的第二问本质就是借助等比数列的求和公式来命题的，因而在解题思路上应将其转化为等比数列的求和来解决。

教材是高考题产生之源，立足教材，着眼数学问题的自然产生，紧扣教材，关注数学问题的自然解决，因此作业教师，在引导学生探究多种解法的同时，要让学生领会原有的数学思想与数学方法。若能生成数学创新就更完美了，这样方能有效提高学生的思维能力和解题能力，使学生开拓解题思路，促进数学的高效学习。

？誗编辑 李建军