例谈“平行四边形”教学中运用多种数学思想方法的实践与探究

张玲玲

【中图分类号】G623【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）24-0043-01

平行四边形以及由它衍生而来的特殊平行四边形是继三角形后接触到的第二类封闭图形，它既是平面几何的基本图形，又是平面几何研究的主要对象，近几年，本人在对初中平行四边形教学中，根据新课标理念，进行多种数学思想方法渗透的实践与探究。取得了一定的成效。现举例如下。

一、转化思想

例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

分析：要证∠B=∠C，可把它们转移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质，证明这个问题。

证明：过E作EM∥AB、EN∥CD，交BC于M、N，得平行四边形ABME和平行四边形NCDE.于是AE=BM，DE=CN.

∵E、F分别为AD、BC的中点，

∴AE=DE，BF=CF.

∴BM=CN.FM=FN.

又∵EF⊥BC

∴EM=EN.∠1=∠2.

∵AB∥EM.CD∥EN.

∴∠1=∠B.∠2=∠C.

∴∠B=∠C.

例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=7，BC=12.求证：∠B=60°.

分析：已知腰的条件，可平移一腰，将较分散的已知条件集中起来，为解决问题创造条件。

证明：过点A作AE∥DC交BC于E。由AD∥BC，知四边形AECD为平行四边形，

故AD=EC，AE=CD.

∵AB=CD=7，AD=5，BC=12，

∴BE=BC—CE=12-5=7.AE=CD=AB=7.

∴△ABE为等边三角形，从而∠B=60°.

评注：转化思想（又叫化归思想）就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，上述两例将梯形通过分割或平移一腰，转化为三角形和平行四边形来处理，显得十分简捷，这是解决梯形问题的基本思想和方法。

二、数形结合思想（代数法）

例3：如图，由两个正方形组成长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中心O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4一共走了32m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）.

分析：由条件知每段行程均为正方形的对角线长且依次减半，而正方形的对角线长又是边长的2倍，因此，可通过大正方形ABOF的。边长和总行程建立方程求解.

解：设大正方形ABOF的边长为xm，则可利用一共走了32m这一条件建立方程2x+22x+222x+223x+224x=312，即（1+12+122+123+124）x=31，解得x=16（m）观察图形易知，长方形花坛ABCD的周长是6x=96（m），故选C.

例4：如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm.占P从A开始沿析线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动。如果点P、Q分别从A、C同時出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t为何值时，四边形APQD也为矩形？

分析：观察图形，要使四边形APQD为矩形，只须AP=DQ即可。

解：由已知，有AP∥DQ，∠A=90°.当PA=DQ时，四边形APQD是矩形，依题意，则有4t=20-t，所以t=4（s），即当t为4s时，四边形APQD是矩形.

评注：以上两例是运用几何图形的性质或判定定理，通过建立方程（组）及恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题予以解决，这种用数形结合思想和代数方法解决几何问题的思想方法，应引起同学们的重视。

三、类比思想

例5：已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，有结论：S△ABC=S△PAC+S△PCD.

理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC。于E、F两点。

∵S△PBC+S△PAD=12BC·PF+12AD·PE

=12BC（PF+PE）=12BC·EF

=12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，即

S△PBC=S△PAC+S△PCD

请你参考上述信息，猜想当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。

分析：先认真阅读题中给出的材料，理解、归纳其中的推理方法，然后探索、猜想不同图形中指定的三个三角形面积之间的数量关系，再利用题中的说理方法类比证明所猜想的结论。

解：猜想结果：

图2应有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD

图3应有结论：S△PBC=S△PAC-S△PCD

对图2的情况证明如下：如图4，过点P作PF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点。

∵S△PBC=12BC·pF=12BC·PE+12BC·EF

=12AD·PE+12BC·EF

=S△PAD+12S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+12S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD

评注：此例要求学生解题时，先要读通、读懂题意，在理解的基础上分析所考查问题与阅读材料的相关点，进而采用归纳类比、迁移转化等思想方法解决问题。