非等间距GM(1,1)模型研究

瞿 军，高云飞，邢志娜，王菊香

（海军航空大学，山东烟台264001）

1982年，邓聚龙教授基于预测控制思想的论文打开了灰色理论新世界的大门。此后，作为灰色理论基础和核心的GM(1,1)模型被许多学者研究，进而衍生出大量改进型和拓展派生型[1-2]，它们因解决小样本、贫信息和不确定性问题时的突出优势被广泛应用在生活生产中的各个领域。然而，GM(1,1)模型要求建模数据序列必须是等间距的，在工程实践应用中往往存在大量非等间距数据。例如，原始数据缺失、剔除异常数据、测试时间不定等原因都会导致非等间距数据的产生。因此，越来越多的学者从不同角度研究了非等间距GM(1,1)模型及其优化方法[3-5]，提高了非等间距GM(1,1)模型的模型精度和适应性，壮大了灰色模型理论体系。本文从数据变换生成方法研究、建模方法研究、背景值、初始条件和模型参数的优化以及模型的拓展角度出发进行整理总结，并对非等间距GM(1,1)模型未来的发展提出建议。

1 数据变换生成方法的研究

对原始数据作数据变换能够弱化数据随机性，改善光滑性，改善模型病态性。数据变换生成方法主要有2种思路：一种是通过初值化、均值化、归一化、区间值化和坐标平移等方法进行函数变换为新的数据序列，使数据更符合建模要求，但是目前大多数文献未考虑控制还原误差的问题，限制了方法的应用。另一种是通过构造弱化缓冲算子和强化缓冲算子[6-7]削弱外在因素影响，排除突发数据干扰造成的失真，使数据的规律更易被把握。这种方法省去了对数据的还原处理，克服了函数变换方法中还原误差的问题，但是缓冲算子弱化或强化作用太大不能微调。

无论是函数变换还是缓冲算子都存在适应性不强的问题：许多方法只是对特定的数据建模后大大提高了模型精度，却对于其他数据效果一般。此外，有学者指出光滑性条件只是高精度的充分条件，数乘变换不影响模型的发展参数和精度[8]，甚至证明了函数变换反而降低了模型精度[9]，数据变换生成方法是否真的提高了模型精度的问题还有待研究。

2 建模方法的研究

非等间距GM(1,1)模型的建模方法[10]大致分为2种思路。

一是首先通过对原始非等间隔数据进行等距处理使其等间隔化，然后按照等间距数据序列进行建模，最后将数据还原。主要包括插值法[11]和生成新数列法[12]。其中，插值法的前提是事先计算出插值数据，计算复杂度较高，且要求下标序列必须为整数，在一定程度上限制了方法的应用；生成新数列法一般假设各个时间间隔下数据序列的差值和相应时间间隔之间为线性关系，从而导致该方法的适用性不强。无论是插值法还是生成新数列法得到的都是估计值，可以认为在一定程度上破坏了原始数据的内部规律，并且建模机理未脱离GM(1,1)模型，不能称之为真正意义上的非等间距建模[13]。

二是通过赋权处理直接利用非等间隔数据序列建模，操作简单、计算简便、易于实现。但是，当原始数据的时间间隔相差比较大时，模型精度会有所下降。此外，有学者[14]认为赋权建模方法得到的拟合函数是与模型相违背的不规则序列，并指出这种方法只是一种忽略时间间隔的巧合。

3 背景值的优化

根据非等间距GM(1,1)模型的建模过程可知，非等间距GM(1,1)模型的模型精度与发展系数和灰色作用量的选取有关，它们又取决于原始序列和背景值的构造，因而背景值直接影响模型的精度。

4 初始条件的优化

传统的非等间距GM(1,1)模型选取原始序列的第一个数据作为模型的初始值，不仅违背了邓聚龙教授提出的“新信息优先”原理，而且已有学者[19]证明这种方式不能保证整个拟合序列的误差最小，反而还浪费了原始序列的第一点信息。现有的改进方法主要包括两种：

一是以原始序列每一个数据非等加权的和作为初始值。按照相等权重[20]或者新信息优先原理[21]分配各个分量的权重。

二是以原始序列和拟合序列的误差平方和或者相对误差平方和等衡量标准最小为约束条件直接求解模型白化微分方程中的时间响应函数[22-23]。

5 模型参数估计方法的优化

6 其他要素的优化

1）灰导数的优化。传统的白化灰导数方法中以差商代替微商，对于含有突变的序列会带来较大的误差，许多学者对灰导数进行优化，比较流行的有向前差商和向后差商后加权平均法[27]和离散点处利用导数定义动态生成灰导数[28]等等。

2）残差的优化。当原始数据序列含有振荡特征或者模型的精度始终达不到要求时，应用最多的方法是残差修正[29]。常用的修正手段有傅里叶变换[30]和神经网络[31]等来补偿系统误差，提高精度。另一种常见方法是利用非等间距GM(1,1)模型对残差序列进行预测，再进行补偿到拟合值上得到残差修正模型。若一次修正结果仍不理想，可以考虑二次修正甚至反复迭代多次修正[32]。

7 模型拓展

1）非等间距GM(1,1)模型群。随着非等间距GM(1,1)模型的发展，衍生了许多派生模型，称之为模型群[33]。非等间隔 GM(1,1,tα)幂次时间项模型[34]中，合理地选择幂指数可以适应不同指数规律序列的建模，非等间距GM(1,1)模型是该模型幂指数为0情况下的特殊形式。然而，单单描述指数规律往往是不够的，非等间距GM(1,1)幂模型最大的优势在于它通过灵活调整灰作用量的幂指数充分反映非线性特征，以适应不同非线性曲线的拟合[35]。此外，还有非等间距无偏GM(1,1)幂模型[36]，它预测白指数规律的序列不存在预测和模拟误差，精度高。非等间距多变量时滞模型GM(1,N|τ,r)[37]能够针对多变量系统的延迟性问题进行研究。

2）非等间距GM(1,1)区间预测模型。由于灰色模型建模依赖于光滑度前提，无法识别数据序列的振荡，而残差修正对于大幅度振荡的预测效果也不甚理想，因此为了解决振荡幅度较大的非等间距小样本序列的预测问题，区间预测思想应运而生。杨平律等[38]通过建立原始序列的上下边缘包络模型，获得灰区间确保预测值的可靠性。曾波等[39]通过包络线将振荡序列划分为上界和下界，将非等间距上下界转化为等间距建模。罗党等[40]在此基础上直接对上下界建立非等间距GM(1,1)模型得到上下包络线和取值包络带以描述数据的发展边界，拓展了非等间距GM(1,1)模型应用范围。

8 展望

自灰色模型问世至今，取得了许多成果和突破，已经形成了较为成熟的理论体系，然而在非等间距GM(1,1)模型中还有一些问题需要解决和完善。

1）传统非等间距GM(1,1)模型白化微分方程与灰色微分方程不严格匹配，导致其不具有白化指数重合性，这是造成模型误差的重要原因。现今较为流行的解决方法是认为白化方程合理，通过背景值、灰导数优化等方法改进灰色微分方程使二者匹配。因此，可以考虑未来将研究重点放在改进白化方程上使二者相互适应，降低模型的预测误差。

2）非等间距GM(1,1)模型建立与检验时标准不完全一致是模型不可忽视的固有缺陷，导致模型精度始终达不到最优。目前比较普遍的改进方法是优化模型参数的求解，并未从根源上解决问题，未来可以考虑研究新的建模方法或者直接利用与的平均相对（绝对）误差绝对值最小求参数，保证二者标准的一致性。

3）非等间距GM(1,1)模型目前只适用于小样本、一维、近指数增长趋势的数据序列，然而工程实践中还有许多大样本、多维、非指数趋势序列，能否扩大非等间距GM(1,1)模型的适用范围是一个亟待解决的问题。

4）现有非等间距GM(1,1)模型的数据变换生成方法往往与要处理的数据有关，普遍性差，即对某些实例效果令人满意，却对其他实例效果一般。因此，一种考虑全面的、科学合理的数据变换生成方法以适用各种预测系统有待进一步研究和突破。

5）非等间距GM(1,1)模型的优化改进方法多种多样，然而单方面的提高是有限的。需要对模型进行综合优化，这包括对非等间距GM(1,1)模型多个要素优化方法的综合以及模型与其他优秀智能算法的组合，成为未来研究和关注的方向。

6）非等间距GM(1,1)模型往往存在病态性问题，目前已有文献已经证明提高光滑度可以改善病态性，但这可能是以降低模型精度为代价的。因此，如何在保证甚至提高模型精度的前提下改善病态性对于完善模型理论体系具有重要意义。

9 结论

经过30多年的发展，灰色模型的应用范围不断拓展，理论研究也不断深入。但同时由于灰色模型自身缺陷所带来的问题也愈发突出，许多学者致力于突破模型的局限性，然而这些研究大部分都是针对等间距GM(1,1)模型的，对于非等间距GM(1,1)模型的优化改进和拓展研究相对较少，关于非等间距GM(1,1)模型比较全面详细的梳理总结更少。因此，本文从GM(1,1)模型的建模研究、优化方法和模型拓展的视角进行比较详细的描述，并提出了需要进一步研究的问题，以期为后续研究提供些许思路。