关于F.Smarandache函数和式的均值计算

李桥,马云真,李江华

(西安理工大学数学系,陕西 西安 710054)

1 引言及结论

定义1.1[1-2]

(1)Smarandache函数:

(2)Smarandache LCM函数:

(3)¯S(n)函数:

(4)简单数:真因子的乘积不超过它本身的数,用A表示简单数集,即

性质1.1[3-4]

(3)S(pα)≤ αp; (4)p|S(pα);

(5)S(pα)= αp,其中 α ≤ p;

关于它们的算术性质,有不少学者进行过研究,获得了许多有重要理论价值的研究成果,参阅文献[2-14].例如,在文献[2]中,作者研究了关于函数¯S(n)的一个和式的均值分布问题,证明了下面的定理,即对任意实数x>1,有

其中

为常数,N表示正整数之集合.

在文献[3]中,作者研究了Smarandache函数S(n)的有界性问题,得出了S(pα)的上下界估计,即证明了:

(p−1)α+1≤ S(pα)≤ (p−1)[α+1+logpα]+1.

在文献[4]中,作者研究了Smarandache LCM函数SL(n)的均值分布问题,证明了下面的定理,即对任意实数x>1,有

在文献[6]中,作者研究了Smarandache函数S(n)的均值分布问题,获得了下面的定理,即对任意实数x>1,有

在文献[8]中,作者研究了数论函数¯S(n)的均值分布问题,得到了下面的定理,即对任意实数 x>1,有

在文献[12]中,作者研究了数论方程S(SL(n))=φ(n)的可解性问题,得到了下面的结论,即方程S(SL(n))=φ(n)有且仅有n=1,8,9,12,18的解.

本文主要目的是利用初等和解析方法研究关于F.Smarandache可乘函数S(n)、SL(n)以及¯S(n)的和式的均值分布问题,并给出几个有趣的渐近公式及其他结论.具体地说也就是证明了下列定理及推论:

定理 1.1 对任意实数x>1以及非负实数λ,有渐近公式

定理 1.2 对任意实数x>1以及实数λ,有公式

定理 1.3 对任意实数x>1以及实数λ,有公式

推论 1.1 对任意实数x>1,有渐近公式

推论 1.2 对任意实数x>1,π(x)表示所有不大于x的素数个数,则有极限公式

2 引理

为了完成定理的证明,首先需要如下几个简单的引理.为叙述方便,令为n的标准分解式.

证明 设x是实数且x>2,那么对任意素数p≤x,存在唯一的正整数α(p),使得

充分性:当¯S(1)≤x时,显然成立.当n>1且¯S(n)≤x时,则

则n|m.

引理2.1得证.

引理2.2 令

证明 设x是实数且x>2,那么对任意素数p≤x,存在唯一的正整数α(p),使得

充分性:当SL(1)≤x时,显然成立.当n>1且SL(n)≤x时,则

引理2.2得证.

引理 2.3[15]设 n ∈ A,则 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p̸=q).

于是(Pd(n))2=nd(n),式中d(n)为除数函数.从而有

由于n是简单数,则qd(n)≤n,即≤n.进而有d(n)≤4,用除数函数d(n)定义,得 n=p,或 n=p2,或 n=p3,或 n=pq(p̸=q)四种情况.

引理2.3得证.

3 定理的证明

这节,直接给出定理的证明.

证明 对定理1.1,结合Smarandache函数S(n)的性质以及引理2.3,有

其他同理可证.

对定理1.2,结合函数¯S(n)的定义以及引理2.1.当λ=0时,由文献[2],有

其中

对定理1.3,结合函数SL(n)的定义以及引理2.2.当λ=0时,有

利用素数定理和Abel恒等式[16],有

即

当 λ ̸=0 时,有

其中

结合定理1.3和素数定理,由x→0时ex=1+O(x),可知

即

于是完成了定理以及推论的证明.