巧用图像法 妙解物理题

李 康

(苏州工业园区金鸡湖学校，江苏 苏州 215000)

在初中物理竞赛与中考中,很多问题不止一种解法,有的甚至一题多解,然而,列方程、讨论函数关系式等常规的数学方法有时显得过于复杂、繁琐.物理图像以直角坐标系为基础,借助两个相关物理量之间的依赖关系,能够直观、形象地表达各类现象的物理过程和规律.因此,巧用图像法也是分析处理初中物理难题的有效途径.本文从运动学中的s-t和v-t图像、电学中的U-I图像以及“因题绘图”3个角度,借助典型案例进行剖析.

1 s-t和v-t图像在运动学中的巧用

例1.(上海市第27届初中物理竞赛初赛)甲、乙两人在长为50m的泳池内,进行游泳训练.甲的游泳速度大小始终为1.2m/s,乙的游泳速度大小始终为0.9m/s,两人同时从泳池的同一端出发,共游了25min,不考虑两人在泳池内的转向时间,甲从身后追上乙的次数为

(A) 2次. (B) 4次.

(C) 6次. (D) 8次.

常规解析： 甲游泳的距离s甲=v甲t=1.2 m/s×25×60 s=1800 m,乙游泳的距离s乙=v乙t=0.9 m/s×25×60 s=1350 m,则25min甲游了36个单程,乙游了27个单程.甲游8个单程即乙游6个单程时,他们完成一个循环,共4.5个循环.

一个循环中,甲前4个单程回到原地,乙恰在对岸,在此过程中甲就没有出现在乙后面过,更别说追上了;甲后4个单程和乙后3个单程当中,虽然开始有2次甲在乙后面,但甲追上乙时是面对面的,不算从后面追上,只有最后一次才是从后面追上的,故4.5个循环中共计4次,正确选项(B).

图像法： 一个循环的s-t图像如图1所示(实线表示甲学生,虚线表示乙学生).由图可知一个循环中共相遇7次,但前6次均为面对面相遇,只有第7次才是甲从身后追上乙,故总次数为4次.

图1

点评：常规解法需要学生在灵活运用速度公式的基础上,具备一定的空间想象能力;s-t图像法不仅能够利用直线的斜率反映速度的大小,还能将复杂的往复运动清晰直观化,可直接看出不同的相遇类型及次数.巧用图像法,使物理过程呈现更清晰.

例2.(上海市第28届初中物理竞赛初赛)某工厂每天早晨7:00都派小汽车按时接总工程师上班.有一天,汽车在路上因故障原因导致7:10时车还未到达总工程师家,于是总工程师步行出了家门.走了一段时间后遇到了前来接他的汽车,他上车后,汽车立即掉头继续前进.进入单位大门时,他发现比平时迟到20min.已知汽车的速度是工程师步行速度的6倍,则汽车在路上因故障耽误的时间为

(A) 38 min. (B) 30 min.

(C) 24 min. (D) 20 min.

常规解析： 设正常情况下汽车从工程师家到工厂的行驶时间为T,汽车速度为v,工程师步行时间为t,汽车故障耽误时间为t′.则

图2

图像法： 工程师此时运动的v-t图像与正常情况到达工厂的v-t图像如图2所示.由于总路程不变,故两块阴影面积相等,即

解得工程师步行时间t=12 min.这段步行距离汽车需要开2 min,因此,汽车故障耽误时间为

t′=10 min+12 min+2 min=24 min.

点评：常规方法所设未知量过多,两次运动情境的时间关系难以建立,给目标物理量的求解带来麻烦;v-t图像法不仅能直接将两次运动情境进行对比,还能将路程转化为面积,易得工程师步行时间,进而求出汽车故障耽误时间.巧用图像法,使物理情境对比更直观.

2 U-I(或I-U)图像在电学中的巧用

例3.(2017年南通市中考第36题)如图3是模拟空调温控装置原理的简化电路,电源电压为6 V,R1为电阻箱,L为阻值不计的线圈,R2是热敏电阻,其阻值随温度的升高而减小,当控制电路中的电流大于等于某一值时,接通受控电路使空调工作.电阻R1调到1 kΩ时,能接通受控电路.已知热敏电阻的电流随电压变化的I-U关系图像如图4,则此时控制电路中的电流为________A.

图3

解析：当电阻R1的阻值调到1 kΩ时,能接通受控电路,设此时热敏电阻两端的电压和电流分别是U和I,根据串联电路的特点有

U总=U+IR1,

图4

图5

点评：利用串联电路的特点,能够得到热敏电阻两端电压与电流的关系,但热敏电阻I-U关系图线的解析表达式未知,因此,求解方程组等常规解法不再有效;而图像法无需进行计算,只要获得两图线交点即可.巧用图像法,使解题适用范围更广泛.

例4.(上海市第29届初中物理竞赛初赛)在如图6所示的两个电路中,电源电压均为U且保持不变,Ra、Rb为滑动变阻器,R1、R2、R3、R4为定值电阻,R1

(A) 若ΔU1=ΔU2,则ΔI1<ΔI2.

(B) 若ΔI1=ΔI2,则ΔU1<ΔU2.

(C) 若R1的功率等于R2的功率,则Ra和R3的功率之和小于Rb和R4的功率之和.

(D) 若Ra和R3的功率之和等于Rb和R4的功率之和,则R1的功率小于R2的功率.

图6

常规解析： 因为ΔU1=ΔI1R1,ΔU2=ΔI2R2,又因为R1I2,则UI1-P1>UI2-P2,即Ra和R3的功率之和大于Rb和R4的功率之和,故选项(C)错误.

图7

图像法： 为了讨论功率,可以做出电压表示数随电流表示数变化的图像,即UV-IA图像.如图8所示,A点电压表示数为U1,电流表示数为I1,此时Ra和R3的功率之和等于U1I1,即四边形面积SAI1OU1,R1的功率等于UI1-U1I1,即四边形面积SABUU1;若R1的功率等于R2的功率,则SABUU1=SCDUU2,此时SAI1OU1>SCI2OU2,故选项(C)错误.如图9所示,若Ra和R3的功率之和等于Rb和R4的功率之和,则SEI1OU1=SGI2OU2,此时SEFUU1

点评：常规解法利用各电学量的表达式,进行大量的理论推导,其中(D)选项更是建立二次函数关系,讨论电流变化情况,对学生的数学分析、运算能力要求很高;U-I图像法将功率的定量计算转化为对面积的定性判断,能快速获取正确答案.巧用图像法,能使复杂数学运算简化.

图8

图9

3 “因题绘图”在其他问题中的巧用

例5.(2014年乌鲁木齐市中考第10题)阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题,现有一个金和银做成的王冠,用排水法测量出其体积为56.9 cm3,若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm3和96.5 cm3,则王冠中银的质量和金的质量之比为

(A) 1∶8. (B) 1∶9.

(C) 1∶10. (D) 1∶11.

图10

点评：常规解法需建立并求解二元一次方程组,繁琐费时,且原题并未给出密度数据,使学生建得了方程,解不出答案;受到初中阶段已学过的m-V图像启发,可构造出质量比η与体积V的线性函数关系,绘制全新的V-η图像,便能直观反映待求量与已知量的内在联系,快速解题.巧用图像法,使因题绘图快速有效.

总之,在初中物理竞赛和中考中,图像法的巧用可以使物理问题更清晰、直观,解题方法更快速、简化,不失为分析处理初中物理难题的一种有效途径.同时,应注重“因题绘图”能力的培养,将图像法更广泛地用于其他各类问题,才会获得更多意想不到的妙处.