Ding-投射模及稳定的t-结构

张豫冈, 曹天涯

(1. 兰州工业学院 基础学科部, 兰州 730050; 2. 西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

文献[1]通过将Abel范畴中复形截断的概念一般化, 在三角范畴D 中引入了t-结构的概念, 并证明了t-结构的心是一个Abel范畴. 因此, t-结构为在三角范畴中寻找Abel范畴提供了一种途径和方法, 且三角范畴中的t-结构类似Abel范畴挠理论, 在许多数学分支中应用广泛. 目前, t-结构已成为研究代数簇上拟凝聚层有界导出范畴的一个重要工具. 为了更好地刻画三角范畴的局部化和余局部化, 文献[2]给出了三角范畴稳定t-结构的概念. 稳定的t-结构是特殊的t-结构, 是三角范畴中的遗传挠对, 三角范畴的Recollement和稳定的t-结构联系密切. 文献[3]提出了强Gorenstein-平坦模和GorensteinFP-内射模的概念; 文献[4]分别称其为Ding-投射模和Ding-内射模, 并利用Ding-投射模和Ding-内射模将Quillen模型结构下的同伦范畴从Gorenstein环推广到Ding-Chen环上. 受文献[5-6]的启发, 本文在Ding-投射模上的相关同伦范畴中给出稳定t-结构及相应右的Recollement.

1 预备知识

设R是具有单位元的环, 本文涉及的模均为左R-模, 复形均为上链复形.

定义1[1]设D,D′和D″是三角范畴. D允许有关于D′和D″的Recollement, 记作

是指存在6个三角函子

i*=i!: D′→D; j*=j!: D→D″; i*,i!: D→D′; j*,j!: D″→D,

满足下列条件:

1) (i*,i*),(i!,i!),(j!,j!)和(j*,j*)是伴随对;

2) i*,j!和j*是满嵌入函子;

3) j*i*=0;

4) 对D中的任意对象X, 可确定D中的2个三角

i*i!X→X→j*j!X→i*i!X[1],j!j*X→X→i!i*X→j!j*X[1].

如果4个正合函子i*,i!,j*,j*满足Recollement定义的相应条件, 则称三角范畴D允许有关于三角范畴D′和D″的右的Recollement. 类似地, 有左的Recollement定义.

定义2[2]设U和V是三角范畴D的全子范畴, 用[1]表示三角范畴中的平移函子. 如果其满足下列条件, 则称(U,V )是D上的稳定t-结构:

1) U=U [1], V=V [1];

2) 对任意的X∈U, Y∈V, 均有HomD(X,Y)=0;

3) 对D中的任意一个对象X, 存在三角A→X→B→A[1], 其中: A∈U; B∈V.

定义3[4]对于一个左R-模M, 如果存在一个正合序列

P·= …→P-1→P0→P1→P2→…,

(1)

使得M=Ker(P0→P1), 其中每个Pi都是投射模, 且对任意平坦模F, 函子HomR(-,F)作用在序列(1)上仍然保持其正合性, 则称其为Ding-投射的. 用符号DP表示环R上所有Ding-投射模构成的类. 显然, DP 是左R-模范畴的一个全子范畴.

给定一个左R-模M, 用Dpd(M)表示M的Ding-投射维数, 这里

假设这样的n不存在, 本文约定Dpd(M)=∞. 用DP-res.dimR表示环R的左R-模范畴的整体Ding-投射维数, 其中

DP-res.dimR=sup{Dpd(M)|M任意左R-模}.

2 主要结果

如果对任意的D∈DP均有函子HomR(D,-)作用在复形X上是正合复形, 则称复形X是Ding-零调复形[7]. 因为投射模是Ding-投射模, 所以Ding-零调复形必为正合复形. 用符号K(R)表示左R-模范畴的同伦范畴,K(DP )表示环R上由Ding-投射模构成的同伦范畴,Kdac(R)表示所有Ding-零调复形构成的同伦范畴,Kdac(DP )表示环R上由Ding-投射模构成的所有Ding-零调复形做成的同伦范畴. 显然其均为K(R)的三角子范畴.

定义K*(DP ), *∈{∞,-,b}的三角子范畴如下：

引理1设R是任意环. 若(X,d)∈Kdac(R), 则对任意的i∈Z, 其截断…→Xi-1→Xi→Imdi→0和0→Kerdi→Xi→Xi+1→…也是Ding-零调复形.

证明: 只需证对任意的D∈DP, 均有

考虑行正合的交换图:

第二个截断的证明类似.

如果C是三角范畴D的三角子范畴且关于直和项封闭, 则称C是三角范畴D的一个厚子范畴.

引理2[8]设C是三角范畴D的一个厚子范畴. 若典范嵌入i*: C→D有一个右伴随i!: D→C, 则有一个右的Recollement:

定义4若对R上任意正合序列, 有

其中每个Di(i≥n)都是Ding-投射模, 则有Kerdn∈DP, 此时称环R具有性质(*).

定理1设R是具有性质(*) 的环, 则下列结论成立：

1) (K-,db(DP ),Kdac(DP ))是K∞,db(DP )中的一个稳定t-结构;

2) 典范嵌入i*:K-,db(DP )→K∞,db(DP ) 诱导出右的Recollement为

证明: 1) 首先, 利用文献[7]中注记3.2或文献[9]中引理2.4易得

HomK∞,db(DP )(K-,db(DP ),Kdac(DP ))=0.

对任意复形X∈K∞,db(DP ), 有

任取D∈DP, 由K∞,db(DP )的定义可知, 存在-m,k∈Z, 使得对任意i<-m和i>k, 均有Hi(HomR(D,X))=0. 下面考虑复形X′:

X″∶=0→Kerdk+3→Xk+3→Xk+4→….

利用引理1可知X″∈Kdac(DP ). 于是有复形的短正合列

0→X′→X→X″→0.

(2)

由X′和X″的构造易知, 复形短正合列(2)是层次可裂的, 因此其诱导出同伦范畴K∞,db(DP )中的好三角

X′→X→X″→X′[1].

由稳定t-结构的定义可知, (K-,db(DP ),Kdac(DP ))构成K∞,db(R) 中的一个稳定t-结构.

2) 由文献[2]中稳定t-结构的性质可知, 典范嵌入i*:K-,db(DP )→K∞,db(DP )有右伴随i！:K∞,db(DP )→K-,db(DP ). 因为Ding-投射模关于直和项封闭, 所以K-,db(DP )是三角范畴K∞,db(DP )的厚子范畴. 由引理2知, 存在右的Recollement

Ding-导出范畴[7]定义为一个Verdier商:Dd(R)∶=K(R)/Kdac(R).

引理3设DP-res.dimR<∞, 则典范嵌入i*:K(DP )→K(R)有右伴随i!:K(R)→K(DP ). 此外, 函子的自然合成

证明: 只需将文献[10]中命题3.5的X取为DP即可.

定理2设DP-res.dimR<∞, 则存在右的Recollement

此时, 若定义K(DP )⊥={X∈K(R)|HomK(R)(Y,X)=0, ∀Y∈K(DP )}, 则(K(DP ),K(DP )⊥)是K(R)中的稳定t-结构.

证明： 由引理3知, 典范嵌入i*:K(DP )→K(R)有一个右伴随i!:K(R)→K(DP ). 由引理2可得右的Recollement:

此时, i!j*=0. 显然K(DP )和K(DP )⊥是K(R)的三角子范畴. 利用Recollement的定义, 对K(R)的每个对象X都有好三角i*i!X→X→j*j*X→i*i!X[1]. 因为i*是满嵌入, 所以i*i!X∈K(DP ). 对任意的G∈K(DP ), 可得

HomK(R)(G,j*j*X)≅HomK(R)(i*G,j*j*X)≅HomK(R)(G,i!j*j*X)=0,

从而j*j*X∈K(DP )⊥. 因此(K(DP ),K(DP )⊥)是K(R) 中的稳定t-结构.