基于对数函数的归一化变步长LMS算法

明 乐，周 峰

（空军工程大学防空反导学院，西安 710051）

0 引言

从现实情况上来看，最小均方误差算法获得了广泛的利用，不管是在弱化通信噪音上，还是在信道均衡上，又或者是在清除特定某些信号的杂波上等等［1-2］。就以往的LMS算法而言，其无法一并顾及收敛速度以及稳态误差两者。

针对该种情况，有关研究人员对以往的LMS算法进行了改善，推出了一些新的算法［3-7］，其中归一化LMS算法需要通过步长和输入信号功率两者间的比例关系，将步长作出归一化处理，其中会涉及到全局步长因子，该因子固定，也会产生和传统算法一样的难题。但是就基于对数函数的变步长LMS算法而言，其步长不是固定不变的，和别的变步长算法比较，不管是在收敛速度上，还是在稳态误差上，都有了较大的改善，然而其算法性能对输入信号比较敏感。为了处理上述两种算法尚存的缺陷，把这两者联系起来，给出了一种基于对数函数的归一化变步长LMS算法，利用前者的思想来弱化输入信号对后者的影响程度，和两者中的单一算法相比，新算法的收敛速度要更为迅速，稳态误差要更低一些，此外，其跟踪性能也较为优良。

1 变步长LMS算法

就传统LMS算法而言，实际上其属于一种最小均方算法，以最速下降法为基础，不会使用到均方误差，取而代之的是平方误差。迭代公式如下：

式（1）中，W（n）是自适应滤波器n时刻的权系数向量，X（n）是 n 时刻的信号输入矢量，d（n）是期望信号，e（n）是输出误差。式（2）中μ是自适应算法的迭代步长。

1.1 归一化LMS算法（NLMS算法）

归一化LMS算法需要通过步长和输入信号功率两者间的比例关系，对前者作出归一化处理，进而使得收敛速度更快，稳定程度更好。归一化后的步长为：

式（3）中，σx2为输入信号的功率，由于很难直接计算，一般用时间平均作为功率的估计值，即：

因此，归一化LMS算法（NLMS算法）的抽头向量更新公式为：

式（5）中，γ是较小的正常数，是为了避免分母为零。

1.2 基于对数函数的变步长LMS算法（Log-LMS算法）

相比于“指数”、“正弦”等方法，从形式上来看，对数函数较为简明，所需的计算不多，并且如果步长因子以及误差信号这两者能够构成对数关系，那么不管是收敛速度，还是稳态误差，都将会更好。其中 e（n）和 μ（n）满足表达式：

式（6）中，参数a是用来控制曲线的整体变化，参数m是用来控制曲线底部变化速度，参数b是用来控制曲线的幅度大小。

文献［6］中也讨论了a、b和m的取值对步长曲线的影响，得出的结论是：a的值太大，会使步长因子错过最佳值；a值过低，在尚未处于最低稳态误差的时候，步长因子就已变成了零，结果就是收敛速度会过低。b值过高，那么算法可能处于一种发散的状态，稳态误差也就较高；b值过低，那么出现的结果是收敛速度过低。同样m的取值也会影响稳态误差，m取值一般设为2。所以在实际应用中，应合理地选择参数。

2 基于对数函数的归一化LMS算法（Log-NLMS算法）

由于步长因子μ影响着系统的收敛速度、稳态误差，即收敛速度会随步长较大而变快，但稳态误差也会随之变大；反之，其收敛速度会随步长较小而变慢，但稳态误差也会随之变小。就归一化LMS算法而言，尽管其对步长和输入信号功率的比例关系进行了利用，然而其利用到的步长是不变的，不能保证收敛速度高以及稳态误差低的情况一起出现。所以，在此对步长因子作出了优化，把归一化LMS算法以及基于对数函数的变步长LMS算法联系起来，最终给出了一种基于对数函数的归一化变步长LMS算法。

该种新算法的逻辑是：以误差e以及步长μ两者间构成的对数关系为基础，通过前者使后者发生变动，令后者一直处于一种适宜的界限中，进而获得更优的收敛速度，也获得更低的稳态误差。同时利用此变步长与输入信号的比值来得到一个新的变步长，即对步长的归一化，从而降低算法的性能对输入信号的敏感度，即对上述式（6）进行变形得：

式（7）中，γ是较小的正常数，加上它是为了避免分母为零。

因此，得到新算法的迭代公式如下：

基于对数函数的归一化LMS算法的计算步骤总结如下：

1）对抽头系数进行相应的初始化处理，也就是迭代的起点：

2）对输入信号进行滤波，产生期望响应的估计值：

3）产生估计误差信号：

4）根据误差信号产生变步长因子：

5）更新抽头权向量：

重复步骤2）～步骤5）。

3 仿真结果

3.1 参数选取

为了更好地对比新算法与单一算法在性能上的差异，在这里采用了文献［6］所给出的仿真条件，通过仿真结果来检验新算法的性能。仿真条件如下：系统是阶数为2的自适应滤波器；采用的输入信号x（n）是高斯白噪声信号，并且其均值等于0，方差等于1；采用的未知系统的有限长单位冲击响应滤波器的权系数w=［0.80.5］T，在采样点数为500时系统参数发生变化，使得w=［0.4 0.2］T；所采用的v（n）是均值等于0，方差等于0.04的高斯白噪声信号，并且这个噪声信号和输入信号两者间是没有关系的。仿真过程中所利用的采样点数为1 000，为弱化实验中出现的误差，形成较为精准的收敛曲线，在该仿真条件下，将200次仿真所得的实验数据求平均，得到最终的平均收敛曲线。

仿真过程中NLMS算法中固定步长取μ=0.007，文献［6］经过讨论给出的Log-LMS算法最优参数 为 a=1 000，b=0.02，m=2。 下 面 讨 论 新 算 法Log-NLMS的参数选取问题。

固定 b=0.01，m=2，a 依次变化为 100，1 000，3 000。从图1中可以看出a值在1000时，算法性能已经最佳，再随着a值增加，算法性能几乎一样。因此，本文通过仿真得出a的最佳值为1 000。固定a=1 000，m=2，b 依次变化为 0.02，0.4，0.8。由图 2 中能够发现，b为0.4的时候，算法性能处于最好的状态，之后伴随该值的提高，性能会减弱。因此，本文通过仿真得出b的最佳值为0.4。

3.2 结果分析

对新算法和归一化LMS算法、基于对数函数的变步长LMS算法分别进行了仿真，并对仿真结果进行分析。

图3给出的是归一化LMS算法、基于对数函数的变步长LMS算法和基于对数函数的归一化变步长LMS算法的均方误差与迭代次数的关系曲线图，从图中不难发现，如果迭代次数没有超过500，也就是未出现跳变的时候，第1种算法实现收敛的时候的迭代次数是300，第2种算法是120，而第3种新的算法大约是80；如果系统出现了跳变的情况，第1种算法实现收敛的时候的迭代次数大约是700，第2种算法大约是600，而第3种新的算法大约是550，而且，新算法对系统的跟踪能力也很强，因此，可以得出结论：不管是和归一化LMS算法比较，还是和基于对数函数的LMS算法比较，新算法在收敛速度方面都要更快一些，在稳定程度方面都要更好一些，而且遇到跳变的情况，新算法在跟踪能力上也很强。图4对应的为上述3种算法的权值收敛曲线，不难发现，新算法和另外两种算法比较，在权值收敛方面要更为迅速一些。

4 结论

对归一化LMS算法以及基于对数函数的变步长LMS算法两者的整体思想进行了阐述，并将两者联系起来，最终给出了一个更优的算法，也就是基于对数函数的归一化变步长LMS算法。通过仿真分析，得出了新算法比单一算法在收敛速度方面更快，收敛后更加平稳，且其对系统的跟踪能力也很强，所以新算法也可以应用在多时变系统中。