运用几何画板教学动态几何

图形与几何是研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换的知识体系[1]。在图形与几何知识的教学中，要让学生经历观察与操作、想象与表达等活动理解几何概念、发展学生空间观念。由于小学生的思维模式处于形象思维阶段，对抽象的几何概念理解困难，因而对图形与几何知识的学习感觉复杂、枯燥，导致学生学习的兴趣不高，这些问题也是整个小学阶段图形与几何知识教学中的常见问题。

几何画板是信息技术和数学教学整合的典范，被誉为“21世纪动态几何”[2]。几何画板是一个动态的数学教学辅助工具，它主要以点、线、圆为基本元素构造出所需几何图形，能实时度量并显示角度、长度，能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律[3]，能在面板中嵌入计算公式展示计算结果，方便学生观察对比。有人说，几何画板是“数学实验室”，借助几何画板开展画图演示、动态模拟、操作验证等活动，能较好地把学生引入思考、探索、创新的情景之中，让学生学习动态几何，帮助学生建立良好的空间观念，取得良好的教学效果。

一、画几何图形 感受直观几何

小学生由于年龄偏小，理解能力有限，生活经验不足等诸多因素，对于图形与几何的有关概念理解不透，容易产生模糊认知或认识误区。几何概念是几何图形区别于其他几何图形内涵、特征的本质属性，对几何概念的教学需要借助几何图形进行直观描述，让学生通过观察、分析、探究、总结过程，得出相关几何概念的内涵和特征，有效地帮助学 生认识概念的本质属性，逐步培养学生的空间观念。几何画板具有强大的作图功能，能快捷地绘制教学所需的任何几何图形，几何画板实际上就是计算机上的直尺和圆规工具。

例如，在教学平面几何中《平移与平行》一课时，如果离开了具体的直观图形的作用，学生就无法准确揭示“平移与平行”的本质含义。在以往的数学课堂上，教师或借助直尺、三角板工具在黑板上画平行线，或利用PPT课件出示几组平行线，帮助学生认识“平移与平行”概念。无论是在黑板上画出来的平行线，还是PPT课件出示的平行线，它们都有一个共同的特点—静态图，不能深层次地揭示概念的本质意义。利用几何画板画出来的几何图形是“活”的，借助几何画板教学平移与平行，不但能任意拖动实现平移、准确地画出已知直线的平行线，还能演示移动其中的一条直线或直线外的点，但两条线的位置关系不会改变。几何画板作图方便、快捷，教师还能指导画平行线，让学生通过画图、识图、说图，借助直观图形理解抽象的几何概念。

小学生刚开始接触立体几何，在学习立体几何知识时，因缺乏空间想象能力，导致学习这一知识比较困难，对概念的认识更需要借助图形理解。几何画板神奇的绘图功能可以使学生准确分辨立体图形中点、线、面的数量、大小和位置关系， 进而达到理解几何概念的目的。例如： 在《长方体的认识》一课教学中，利用几何画板就能轻松地画出各种长方体、正方体等立体图形，帮助学生理解图形的特征，探索露在外面的面面积计算方法，总结归纳露在外面的面不同的摆放方式规律，还能演示把一个大长方体平均分割成几个小长方体，或几个正方体拼成一个大长方体后表面积的变化情况，这些都是传统的课堂教学手段很难解决的问题。借助几何画板教学立体几何知识， 能让学生直观地认识各种立体图形的概念、特征，培养学生的空间观念。

图形与几何的教学离不开几何图形，几何画板不仅具备强大的作图功能，还可以让几何图形转动起来产生直观的三维效果图，展示正视图、侧视图、俯视图，进行水平旋转、垂直旋转等，为学生提供多角度的观察方法[4]，化抽象为直观，形象地展示几何概念的内涵与外延，更好地诠释抽象的几何概念，让学生感受直观几何。

二、观动画模拟 体验动态几何

几何画板除强大的作图功能外，另一大特点是动态模拟功能。几何画板动画制作方便、快捷，可以根据教学要求制作各类动画课件。 几何画板中“运动”按钮可以添加“动画”和“移动”2种动画方式，还可以用鼠标拖动图形上的任一元素，而事先给定的所有几何关系都保持不变[5]。把这些动态模拟方式经过巧妙组合后，所制作的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行运动，产生良好的、强大的动画效果，并且每个元素的值都可以随着运动而变化，在运动中把握不变，探究几何规律，起到良好的教学效果。

例如，在教学《展开与折叠》这一内容时，认识长方体与正方体的展开图、并判断哪些图形能还原为长方体或正方体，是本节课的教学重点，也是教学难点。以往这一知识的教学教师都深感头疼，课件无法演示展开、折叠的过程，唯一的方法就是让学生带长方体、正方体盒子进行操作实验。但是，展开的方法很多，学生哪能带那么多纸盒？最后教师只好把长方体、正方体的展开图画在黑板上让学生死记硬背。利用几何画板制作的课件就能很好地演示长方体、正方体展开与折叠的过程(如图1～3所示），轻松地突破本节课的教学难点，促进学生空间观念发展，为学生后续学习长方体、正方体表面积等知识打下坚实的基础。

图1

图2

图3

三、做几何实验 尝试验证几何

画图、动态演示功能只是几何画板带给学生的视觉感受，启迪学生视觉思维。几何画板最大的亮点是验证几何，是学生研究几何关系，猜测、发现和验证几何方法，探索几何规律的一个电子“实验室”[6]。在这个“实验室”中，学生借助几何画板画出所需几何图形，对所绘制的图形各元素进行度量，动态显示度量结果并计算；通过拖动改变图形的形状，显示它们大小的值也随之改变，使学生在动态中观察、探索和发现对象之间的数量关系与位置结构关系，开展定性或定量研究，验证有关的几何性质，探讨、理解相关的几何知识。

例如，在教学《三角形的内角和》时，传统的教法是让学生经历“撕拼”“折叠”“度量”的探究过程，得出“三角形的内角和等于 180 度”这一结论。但是，想要验证这一结论，需要一定数量的、不同形状的三角形，这是传统教学无法实现的，利用几何画板制作课件教学这一内容快捷、方便又高效。课件制作步骤如下。(1)构造一个三角形ABC；(2)点工具箱中的“选择”工具，依次单击点A，B，C，选中了∠ABC，依次单击菜单“度量”→“角度”按钮，量出∠ABC 的度数，用同样的方法量出∠BCA，∠CAB的度数；(3)利用计算器计算内角和：依次单击菜单“数据”→“计算”按钮，调出计算器，依次点击“m∠ABC=…”“计算器的+号”“m∠BCA=…”“+”“m∠CAB=…”，最后单击“确定”。如图4至图6所示，用鼠标拖动三角形的顶点，任意改变三角形3个内角的大小，3个内角和的值不变，这样就能动态验证三角形3个内角的和始终为180°。

图4

图5

图6

利用几何画板制作课件，可以让学生参与到验证三角形内角和始终是180°的实验中。学生根据自己的想法，任意拖动三角形顶点改变三角形的形状，不管拖出的是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，所显示的3个内角和的值都是180°，操作过程比传统探究方法简单、省时，将传统的“教师讲─学生听─反复练”的数学课堂转变为“问题─观察─猜测─实验─结论─验证─练习”的新模式，让学生掌握几何知识的学习方法。

几何画板还可以验证定值问题、探求轨迹问题。利用几何画板动态地展现几何对象的位置关系、变化规律以及对几何直观的构建作用等都是其他软件工具无法比拟的[7]。在几何与图形知识的教学中，合理有效地使用几何画板，让学生学习动态几何，极大地提高了学生学习几何与图形知识的兴趣，能很好地帮助学生发展空间观念，有效提升学生解决实际生活中几何问题的能力。