预处理最小二乘QR分解法识别桥梁移动荷载的优化分析及试验研究

陈震 王震 余岭

摘要： 基于时域内移动荷载识别理论，针对逆问题求解存在的典型不适定性问题，提出采用预处理最小二乘QR分解法（PLSQR）识别桥梁移动荷载。两轴时变移动荷载数值仿真结果表明：与采用奇异值分解求逆的时域法（TDM）相比，由PLSQR方法识别移动荷载在识别精度、抗噪性能和抗不适定性等方面均有明显的提高。通过结合改进的Gram-Schmidt正交化，在PLSQR方法基础上对其迭代效率进行优化，改进的PLSQR方法（i-PLSQR）在保证不降低识别精度的前提下其最优迭代次数有明显降低，3种噪声水平下8种工况平均最优迭代次数较原PLSQR方法均减小超过2/3。试验研究表明i-PLSQR识别结果与真实荷载非常接近，识别精度较传统TDM有明显提高，可应用于移动荷载的现场识别。

关键词： 移动荷载识别； 桥梁； 时域法； 预处理最小二乘QR分解法； 优化分析

中图分类号： TU311.3； U441+.2文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0545-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.001

引言

桥梁移动荷载识别属结构动力学逆问题范畴，由桥梁动态响应识别桥面移动荷载已取得较大进展，其中尤以时域法（TDM）[1]和频时域法（FTDM）[2]识别理论完备、识别精度较高而备受关注[3]。Chan等[4]指出，虽然通过奇异值分解（SVD）可有效提高TDM识别精度，但由于逆问题自身的不适定性，识别结果仍对噪声敏感且存在较大波动[59]。近年来，相关学者已提出许多新的方法来克服和解决这一顽固问题，且识别精度较传统方法有较大改进[1013]。识别精度和识别效率是逆问题识别的两大核心问题，在保证识别精度的前提下，如何高效、快速地识别移动荷载也是评价移动荷载识别方法经济性和现场适用性的关键因素。

现有移动荷载识别方法大多侧重于提高识别精度，本文拟通过迭代优化分析得到同时具有高精度和高效率的移动荷载识别方法。在TDM识别方法的基础上，提出采用预处理最小二乘QR分解法（PLSQR）识别桥梁移动荷载，并结合改进的GramSchmidt正交化对新方法进行迭代优化分析以期提高新方法的迭代效率，节约识别成本。数值模拟结果表明：与采用SVD求解的TDM方法相比，由PLSQR方法识别移动荷载在识别精度、抗噪性能、抗不适定性等方面较传统方法均有明显的提高。迭代优化后的预处理最小二乘QR分解法（iPLSQR）在保证不降低原方法识别精度的前提下可有效降低其迭代次数、提高识别效率，这为新方法的实际应用奠定了良好的基础。为了验证本文方法的可行性与有效性，文末给出试验验证。

1理论背景1.1时域法识别移动荷载以EulerBernoulli梁为例，梁长为L，单位长度质量为ρ，抗弯刚度为EI，黏性阻尼为C，假设速度为c的动荷载P自梁左端向右端移动，模型简图如图1所示。

当测得车辆荷载作用下桥梁的弯矩响应或加速度响应后，TDM移动荷载识别理论即可转化为系统方程求解问题AN×NBxNB×1=bN×1（4）式中A为车桥模型系统矩阵，b为测得的桥梁响应，x为待识别的移动荷载，下标N为测点响应数，NB=L/（cΔt）为采样样本数。

1.2最小二乘QR分解法（LSQR）

1982年Paige和Saunders提出LSQR算法[14]，LSQR算法是典型的迭代算法，首先将任意系数矩阵方程转化为系数矩阵为方阵的方程，然后利用Lanczos方法求解方程的最小二乘解。LSQR非常适用于大型稀疏矩阵的求解，由于其优良的算法特性，已在噪声主动控制领域取得良好的噪声控制效果[15]。

在求解车桥系统方程Ax=b（A∈Rm×n，x∈Rn×1，b∈Rm×1）最小二乘问题minAx-b2时，通过k次迭代求得残差范数rk2最小的解即为最优解。本文不再赘述常规LSQR算法及Lanczos对角化方法，重点详述针对LSQR方法的预处理改进及其迭代优化。

1.3预处理LSQR算法（PLSQR）

LSQR算法具有数值稳定、能充分利用矩阵稀疏性减少计算量等优点，但在移动荷载识别领域，由于逆问题识别存在的典型不适定性特征，需对其改进以提高其抗不适定性。Jacobsen等[16]提出通过引入正则化方法可有效提高LSQR算法的抗不適定性。

1.4改进的GramSchmidt正交化

在对车桥系统矩阵进行QR分解时，需采用GramSchmidt正交化方法。GramSchmidt正交化即利用投影矩阵在已有正交基基础上构造一个新的正交基，但当车桥系统矩阵A为病态矩阵时，通过传统GramSchmidt正交化得到的Q矩阵列向量会由于舍入误差而丧失正交性。Dax[17]提出改进的GramSchmidt正交化方法，有效避免了舍入误差的影响，尤其在求解欠秩最小二乘问题时较传统GramSchmidt正交化具有明显优势。

为m行n列系统矩阵A构造m×n正交矩阵Q和n×n上三角矩阵R，其QR分解可表示为A=QR（9）传统GramSchmidt正交化只需保证式（9）满足如下边界条件A-QR2≤γεA2（10）式中γ为与系统矩阵行数m和列数n有关的常数，ε表示计算精度限制条件。假定系数矩阵A的奇异值满足σ1≥σ2≥…≥σn>0，当σ1/σn1/ε时，此时仅由边界条件（10）无法保证Q矩阵的正交性。改进的GramSchmidt方法通过引入如下附加边界条件可有效解决这一问题I-QTQ2≤γεσ1σn（11）式中I为单位矩阵。对于存在明显不适定性的移动荷载识别问题，引入改进的GramSchmidt方法可有效保证计算结果的稳定性，进而提高移动荷载识别效率。

2数值模拟

以图1模型为例，车辆模型参数如下：两轴车辆轴距ls=8 m，行驶速度c=40 m/s。桥梁的抗弯刚度EI=1.28×1011 N·m2，梁长L=40 m，前3阶固有频率分别为：f1=3.2 Hz，f2=12.8 Hz，f3=28.8 Hz，测量桥梁的加速度响应和弯矩响应的采样频率为200 Hz，分析频段取0～40 Hz。

表1列出了8种组合工况下TDM，PLSQR和iPLSQR在1%，5%和10%共3种噪声水平下的识别误差。表中‘m为测量弯矩响应，‘a为测量加速度响应，测量响应组合考虑仅由加速度响应识别、仅由弯矩响应识别和由组合响应识别移动荷载3种情况；‘14，‘12和‘34分别表示测点位于桥梁14，12和34桥跨处；表中正体数据为采用SVD求解后TDM识别误差，斜体数据为PLSQR方法识别误差，带下划线数据为iPLSQR方法识别误差，符号‘*表示识别误差超出允许误差限值100%，此时识别结果不可接受。

由表1可知，随着噪声水平增大，TDM识别误差迅速增加，当噪声水平达到10%时，8种识别工况中仅有1种工况识别结果可以接受。PLSQR和iPLSQR识别误差随噪声水平增加略有增加，识别方法表现出显著的抗噪性能，且所有工况的识别误差均小于30%，其中有7种工况的识别误差均小于15%，识别精度较TDM有明显提高。

同时，由表1数据可知，TDM识别误差受测量响应组合影响较大，识别精度随测点数量增加而增加，尤其是当响应组合中包含较多加速度响应时识别精度增加明显，当仅由弯矩响应识别移动荷载时其识别精度最差，即TDM识别结果受响应类型和响应数量影响显著。PLSQR和iPLSQR识别方法在8种响应组合工况中均呈现出良好的识别效果，识别精度受测点类型和数量变化影响很小，具有良好的测点适应性。

图2比较了10%噪声水平下TDM，PLSQR与iPLSQR由含有较多高频信息的加速度响应（对应表1中工况1）识别桥梁移动荷载结果；图3比较了5%噪声水平下3种识别方法由组合响应（工况3）识别桥梁移动荷载结果；图4比较了1%噪声水平下3种识别方法由含有较多低频信息的弯矩响应（工况8）识别桥梁移动荷载结果。

由图2可知，当仅由加速度响应识别移动荷载且加速度测点较多时，即使噪声水平达到10%，TDM，PLSQR与iPLSQR仍具有很高的识别精度。但仍需注意当车辆荷载前轴下桥和后轴上桥的特定时刻，TDM识别结果与真实荷载仍有一定差异，存在着局部波动情况，这种局部波动在图3和4中更为明显，呈现出逆问题识别具有的典型不适定特征。车桥系统矩阵存在的不适定性不仅会直接导致某一时刻识别误差畸大，降低识别方法的识别精度，甚至会影响该识别方法的适用性直至无法识别桥梁移动荷载（如图4中TDM识别结果）。TDM采用SVD降噪具有一定的效果，但针对存在不适定性的逆问题识别时仍有较大缺陷，文献[7]也采用SVD降噪识别双轴移动荷载，其数值模拟结论与本文完全一致。

由表1和图2～4中识别结果可知，PLSQR和iPLSQR识别精度差异很小，两种方法均具有显著的抗不适定性，识别荷载在车辆行驶的全时段均与真实荷载非常接近，且识别精度受测点类型及噪声干扰小。与此相比，TDM方法识别精度具有明显的测点类型依赖性，当仅由弯矩响应识别移动荷载时，尽管噪声水平仅为1%，TDM识别精度仍然很差（图4）；但当仅由加速度响应识别移动荷载時，虽然噪声水平达到10%，TDM仍具有非常高的识别精度（图2）。

图5结果表明，两种方法最优迭代次数均随噪声水平增加而减小，且iPLSQR在迭代过程中更快到达最优解，其最优迭代次数较PLSQR显著减小。由理论推导可知，通过将传统LSQR方法进行预处理得到的PLSQR与iPLSQR方法是典型的杂交方法，即迭代系数 k 值的选取也包含了系统矩阵截断误差的选取信息。随着噪声水平的增加，测量桥梁响应中误差信号也增多，因此需要截断的误差信号也随之增加，而 k 值越小就代表实际识别过程中采用的真实响应数据越少，即测量桥梁响应中需要截断的误差信号越多。反之，如果选取的 k 越大，系统矩阵中包含的噪声干扰信号越多，则PLSQR与iPLSQR的识别误差将随之增加。

图6结果表明，在1%噪声水平下，8种工况iPLSQR平均最优迭代次数较PLSQR降低91%，在5%噪声水平下，iPLSQR平均最优迭代次数较PLSQR降低75%，在10%噪声水平下，iPLSQR平均最优迭代次数较PLSQR降低67%。iPLSQR通过引入改进的GramSchmidt算法，保证了正交矩阵Q的正交性，避免其受舍入误差的影响，有效提高了移动荷载识别效率。在现场移动荷载识别过程中，实际的车桥系统矩阵必将非常庞大，通过降低迭代次数可有效减少识别移动荷载所需时间。

3试验验证

车桥模型试验由余岭教授在暨南大学重大工程灾害与控制教育部重点实验室指导进行，试验数据采用文献[9]中相关数据，简化车桥模型及试验布置如图7所示。

采用本文提出的iPLSQR方法由实测桥梁12m，34m，12a 和 34a响应识别桥面移动车载，并将该识别结果与TDM（SVD）方法识别结果进行比较，车辆前后轴和总重识别结果及识别误差如表2所示，符号‘*表示识别误差超出允许误差限值100%。识别荷载时程曲线如图8所示。

由表2和图8结果可知，iPLSQR识别结果与真实荷载非常接近，最大误差仅为3.12%，TDM（SVD）识别结果与真实值偏差较大，前后轴识别误差均超过100%，识别结果不可接受。由iPLSQR识别荷载重建桥梁34桥跨处弯矩响应和加速度响应如图9所示，图中重建响应和实测响应也非常接近，这也说明iPLSQR在识别桥面移动荷载时具有良好的识别精度和实用价值。

4结论

本文基于移动荷载时域识别理论，提出采用PLSQR方法识别桥梁移动荷载，分别采用数值分析和试验验证评价新方法的识别精度。研究结论如下：

1）PLSQR在识别精度、抗噪性能、测点适应性和抗不适定性等方面均较传统TDM方法有明显的提高。同时，新方法的识别效率与迭代次数的选取直接相关，对新方法进行迭代优化是提高其识别效率及节约现场移动荷载识别成本的关键。

2）通过结合GramSchmidt正交化对PLSQR方法迭代效率进行改进，改进后的iPLSQR方法在保证识别精度和PLSQR基本一致的前提下实现了更高效的识别桥梁移动荷载，3种噪声水平下8种工况平均最优迭代次数较PLSQR方法均减小超过23。

3）试验结果表明，采用iPLSQR方法识别的桥面移动荷载与真实荷载非常接近，其识别的前轴、后轴及总重荷载均在真实荷载附近微小波动，最大识别误差仅为3.12%，较TDM试验识别精度有显著提高。

本文通过提出移动荷载识别新方法并对其迭代效率进行改进，得到改进后的iPLSQR方法，iPLSQR在逆问题识别最关键的识别精度和识别效率两个方面均取得显著效果，试验结果也验证了其良好的识别精度和现场适用性，为有效识别桥面真实移动荷载提供了依据。

参考文献：

[1]Law S S， Chan T H T， Zeng Q H. Moving force identification： a time domain method[J]. Journal of Sound and Vibration， 1997， 201（1）： 1—22.

[2]Law S S， Chan T H T， Zeng Q H. Moving force identification： a frequencytime domain method[J]. Journal of Dynamic System， Measure Control， 1999， 121： 394—401.

[3]余嶺， 朱军华， 陈敏中， 等. 基于矩量法的移动荷载识别[J]. 振动工程学报， 2006， 19（4）： 509—513.

Yu Ling， Zhu Junhua， Chen Minzhong， et al. Moving force identification based on method of moments[J]. Journal of Vibration Engineering， 2006， 19（4）： 509—513.

[4]Chan T H T， Ashebo D B. Theoretical study of moving force identification on continuous bridges[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 295： 870—883.

[5]Deng L， Cai C S. Identification of dynamic vehicular axle loads： theory and simulations[J]. Journal of Vibration and Control， 2010， 16（14）： 2167—2194.

[6]Liu J， Sun X S， Han X. A novel computational inverse technique for load identification using the shape function method of moving least square fitting[J]. Computers and Structures， 2014， 144： 127—137.

[7]Yu L， Chan T H T， Zhu J H. A MOMbased algorithm for moving force identification： Part Itheory and numerical simulation[J]. Structural Engineering and Mechanics， 2008， 29（2）： 135—154.

[8]Chen Z， Chan T H T. A truncated generalized singular value decomposition algorithm for moving force identification with illposed problems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2017， 401： 297—310.

[9]Pan C D， Yu L， Liu H L， et al. Moving force identification based on redundant concatenated dictionary and weighted l1norm regularization[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 98： 32—49.

[10]Li Z， Feng Z P， Chu F L. A load identification method based on wavelet multiresolution analysis[J]. Journal of Sound and Vibration，2014，333：381—391.

[11]Xu X， Ou J P. Force identification of dynamic systems using virtual work principle[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 337： 71—94.

[12]Qiao B J， Zhang X W， Luo X J， et al. A force identification method using cubic Bspline scaling functions[J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 337： 28—44.

[13]Chen Z C， Li H， Bao Y Q. Identification of spatiotemporal distribution of vehicle loads on longspan bridges using computer vision technology[J]. Structural Control and Health Monitoring， 2016， 23（3）： 517—534.

[14]Paige C C， Saunders M A. LSQR： An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares[J]. ACM Transactions on Mathematical Software， 1982， 8： 43—71.

[15]寧少武， 史治宇. QR分解的最小二乘格型自适应滤波算法在噪声主动控制中的应用[J]. 振动工程学报， 2013， 26（3）： 363—373.

Ning Shaowu， Shi Zhiyu. QR decompositionbased least squares lattice adaptive filter algorithms for active noise control [J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（3）： 363—373.

[16]Jacobsen M， Hansen P C， Saunders M A. Subspace preconditioned LSQR for discrete illposed problems[J]. BIT Numerical Mathematics， 2003， 43： 975—989.

[17]Dax A. A modified GramSchmidt algorithm with iterative orthogonalization and column pivoting[J]. Linear Algebra and its Applications， 2000， 310： 25—42.

Abstract： Based on the theory of moving force identification in time domain， a preconditioned least square QRfactorization （PLSQR） algorithm is developed to overcome the typical illposed problem existing in inverse problems. A comprehensive numerical simulation is set up based on a beam model with biaxial timevarying forces to evaluate PLSQR by comparing this technique with the conventional counterpart SVD embedded in the time domain method （TDM）. Investigations show that the PLSQR has higher precision， more noise immunity and less sensitive to perturbations with the illposed problems compared with TDM. By combining the improved GramSchmidt with iterative orthogonalization， iterative optimization analysis of PLSQR is carried out. Results indicate that the improved PLSQR（iPLSQR） can more quickly and effectively identify the moving load on bridge without sacrificing the identification accuracy compared with the PLSQR， and the average optimal numbers of iterations reduce by at least two thirds in eight cases with three noise levels. The experimental results show that the identified force obtained from the iPLSQR is very close to the true force and the identification accuracy is significantly higher than traditional TDM， which can be applied to the field moving force identification. The study results have important reference for the research of inverse problems identification of structural dynamics.

Key words： moving force identification； bridge； time domain method； preconditioned least square QRfactorization； optimization analysis