利用核函数和不同正则化方法的结构载荷识别混合技术研究

缪炳荣 周凤 陈翔宇

摘要： 提出一种基于核函数和不同正则化方法进行载荷识别技术研究，以提高识别精度。首先，根据结构系统的逆问题理论和Green核函数方法建立动力学方程；其次，采用正则化技术，如Tikhonov方法、截断奇异值分解（TSVD）方法、LSQR方法等，通过混合方法增加虚拟边界约束条件对不适定性问题求解；最后，结合实际算例和利用混合方法进行载荷识别的数值计算与试验验证。结果表明：混合方法中利用GCV曲线选择最优的正则化参数值，通过Tikhonov结合LSQR方法进行正则化的求解，得到的载荷识别的结果最好。尽管预测数据存在一定的分散性误差，但是识别能力良好、总体误差较小、相关性系数较大。基于Green函数和正则化技术的载荷识别混合方法可以有效地应用到工程实际研究。

关键词： 载荷识别； 结构动力学； 逆问题； 正则化方法；有限元法

中图分类号： O347.1文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2018）04-0553-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.002

引言

在多数工程技术问题中，结构载荷识别问题可以理解为如何准确求解结构动力学的病态方程[12]。这就需要考虑合理选择结构动力学第二类逆问题的求解技术，常用的一种方法就是正则化方法[34]。国内外学者对如何利用正则化方法求解结构动力学逆问题已经做了大量研究，取得了不少成果[57]。

H G Choi等在载荷识别过程的Tikhonov正则化方法中引入阈值，考虑了振动响应误差放大的影响，且根据矩阵条件数进行预测精度判断 [8] 。Fergyanto E等利用B样条函数逼近冲击载荷，采用Tikhonov正则化，L曲线方法确定正则化参数[9]。Wang等提出了一种改进的迭代正则化方法来解决线性逆问题，通过Morozov偏差原理确定正则化参数[10]。肖悦等对含噪信号基于奇异熵的去噪处理方法，同时利用正则化方法对共轭梯度迭代算法进行预优，提高逆问题求解中输入数据的精度和改善其非适定性[11]。卢立勤等提出共轭梯度最小二乘迭代正则化算法和启发式迭代收敛终止准则，该方法在载荷识别过程中不需要对传递矩阵求逆和明确正则化参数的优点，但响应数据误差对正则化算法的迭代步数和收敛速度影响较大 [12]。You Jia等对于随机载荷识别中的误差影响和不适定问题，提出基于适当正交分解的加权正则化方法，并通过广义交叉验证方法（简称GCV方法）选取正则化参数[13]。Baijie Qiao 等研究了一种基于函数系数向量范数最小化的一般稀疏正则化方法，通过可分离近似的稀疏重构，解决力识别的稀疏正则化问题[14]。M Aucejo和O De Smet构建乘法正则化，以迭代的方式计算正则化解，求解过程中不需要预先定义正则化参数[15]。Gang Yan等在重建冲击力时间历程时，采用基于Bayesian推导的正则化问题的逆问题分析方法，用状态空间模型来解决影响力重构的问题[16]。Zhen Chen 和Tommy H T Chan 针对移动载荷识别过程中的病态问题，采用截断广义奇异值分解方法寻求不适定方程的解 [17] 。

为了能够迅速提高结构动载荷识别结果的准确性，在众多文献的研究基础上，本文提出一种基于核函数和正则化的混合方法进行载荷识别技术研究，以提高识别精度。这种方法主要是基于结构振动响应的载荷识别技术的混合计算方法，通过比较结构载荷识别技术的几种典型方法，以及L曲线和GCV曲线的正则化参数选取准则的研究，提出一种混合识别方法，且将仿真与试验结果结合起来进行比较性研究，以期望提高结构载荷识别的精度。

1理论背景1.1基于Green核函数建立正问题考虑线性动态系统的载荷识别问题，假设系统对单位冲击载荷δ（t）的响应，即由载荷作用点到响应测量点的Green函数为z（t）。根据叠加原理，激励和系统响应之间表示为如下卷积形式z（t）=∫t0H（t-τ）f（τ）dτ（1）式中H（t-τ）表示结构脉冲响应的Green核函数，z（t）表示系统的动态响应，响应数据可以是应力应变、位移、速度和加速度等。

FM（5）式中M和N分别表示载荷点和响应测量点的数目，且需要保证N≥M，能够满足方程正定的或者超正定的条件。方程（5）表示多输入多输出系统的线性离散方程模型。

1.2正则化方法

求解结构动力学方程不适定问题的方法主要是根据与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解。如何建立有效的正则化方法是求解动力学逆问题中不适定问题的重要内容。正则化理论（Regularization Theory）主要用于线性代数理论中求解具有很大条件数的不适定性的逆问题。正则化理论主要目的是提供有效稳定的数值分析方法，包括能够产生稳定的解与合适的边界约束。在已知边界约束情况下，通过选择最优的正则化参数，保证其对未知解的良好近似。通常的正则化方法有基于变分原理的Tikhonov方法、截断奇异值分解（TSVD）方法、LSQR方法和各种迭代方法以及其他一些改进算法。这里对一些典型的正则化方法做简单介绍。

1.2.1Tikhonov方法

Tikhonov正则化的动态载荷识别方法主要步骤包括：建立离散线性系统的方程；Tikhonov正则化方法的求解；选取最优的正则化参数。Tikhonov正则化方法可以考虑为优化问题minf∈RnHf-z22+α2f22（6）式中·22表示向量2范数的平方。α（α>0）为正则化参数，是一个常数，主要控制残差范数Hf-z22和解的范数f22之间的相对大小。为了更好地获得近似真实解，α的值应该越小越好，但是考虑到数值稳定性，α的值应该越大越好，这就需要优化地选择该参数。方程（6）目标函数的准确形式为fTHTH+α2If-2zTHf+zTz（7）根据目标函数的梯度等于零的概念，方程（7）的最小二乘解為HTH+α2If=HTz（8）根据方程（8）推导载荷的表示形式f=HTH+α2I-1HTz（9）式中I记作单位矩阵，HTH+α2I-1HT称为正则化算子。

1.2.2截断奇异值分解（TSVD）方法

对待病态矩阵的方法是利用秩亏的系数矩阵推导新的问题。秩亏的矩阵H的秩最接近k的近似矩阵Hk，Hk为Hk=∑ki=1uiσivTi， k≤n（10）截断奇异值分解（TSVD）方法是用来求解最优化问题minHkf-z2（11）式中Hk 表示秩为k的H矩阵。

这个问题的解还可以写为fk=∑ni=1uTiz〖〗σivi（12）TSVD的解fk是矩阵H在数值零空间上唯一没有分量的正则化解。该方法是将所得的广义解公式的右端进行截断，仅保留了前k个对应的具有较大奇异值的部分，过滤较小的奇异值，避免过渡放大扰动误差。但是为了提高识别的准确性，需要尽量地将值k取得大一些。但是该方法对数据本身有一定的限制，实际中很难达到要求。

1.2.3LSQR方法

LSQR方法是一种特别适合求解大型、稀疏矩阵线性方程的方法。其将任意稀疏矩阵方程转化为系数矩阵为方阵的方程，然后利用Lanczos对角化算法建立较低的对角矩阵，求解方程的最小二乘解。由于求解过程中采用QR因子分解法，这种方法称为LSQR方法。LSQR方法可以表示为minfHf-z（13）考虑线性系统及其最小二乘问题，假设矩阵H没有精确的零奇异值。利用奇异值分解，系统的解为fLSQ=∑ni=1uTizσivi（14）与较小的奇异值σi相关的傅里叶系数uTiz没有像奇异值一样衰减得很快，但是逐渐趋于稳定，解fLSQ是由与最小的σi相关项的和决定的。

当运用在不适定性问题中时，LSQR方法表现出“半收敛特性”。正则化过程中最近一次的迭代重建的是关于解的信息，其次，迭代重建的主要是噪声信息。当误差达到最小时，迭代计算结束，获得正则化的解。虽然在实际中经常不知道准确解，相对误差的图形也不能找到最优的迭代结束的点，但是，通过这种正则化参数选择的方法可以有效地预测迭代结束的点。

1.3正则化参数选取方法

对于大多数结构动力学方程的病态问题求解，均需要进行正则化处理，为此必须考虑正则化参数的最优选取原则。很多学者已经研究了大量的正则化参数选取方法[718]，例如L曲线准则、广义交叉验证法（GCV）准则、拟最优准则、Morozov偏差准则、启发式准则等。其中L曲线准则和广义交叉验证方法（GCV）相比于其他的一些方法得到了广泛的应用。好的正则化参数会在扰动误差和正则化误差之间有一个较好的平衡。这里主要介绍L曲线准则和GCV曲线准则选取最优正则化参数的方法。

1.3.1L曲线准则

在选取正则化最优参数的过程中，常用一种图形化工具进行正则化参数的确定，即L曲线准则。该准则主要是对于所有的正则化参数，采用对数尺度下的正则化解的范数Lfreg2和相应的残差范数Hfreg-z2之间的图形作为依据。由于通过正则化参数确定的参数化曲线像“L”形状，又称为L曲线准则。这种方法中，L曲线有效地权衡了正则化解和残差范数之间的最小值。同时正则化参数变化时残差范数和解的范数随之变化的情况。L曲线准则如图1所示。

在L曲线的拐点上（L曲线曲率最大处），解的范数和残差范数能够获得很好的平衡。此时的正则化参数为最优的正则化参数。L曲线准则确定的最优参数点主要位于曲线的拐点处。L曲线准则选择最优的α参数作为曲线上具有最大曲率的参数值。该曲线上的点的坐标可以写为lgHf-z，lgF=ζα，ζα（15）1.3.2GCV曲线准则

广义交叉验证（GCV，Generalized Cross Validation）的思路是基于统计学观点，利用最佳的参数预测任何一个新的数据，并用其他数据点来建立模型。实际上就是寻求扰动误差和正则化误差之间的一个平衡，也就是产生合理的曲线拐点。GCV曲线准则的缺点是在接近最小值的时候，函数曲线非常平缓，不容易找到GCV函数的最小值。选择正则化参数确定最小化的GCV函數G≡Hfreg-z22traceIm-HHI2（16）可以进一步表示为Gk=∑Ni=1uTizσ2i+k22∑Ni=11σ2i+k22（17）式中HI表示的是当与z相乘（也就是freg=HIz）产生的正则化解freg的一个矩阵，k表示正则化参数。G参数定义为连续的和离散的正则化参数。GCV曲线准则如图2所示。

2载荷识别混合计算方法

为了研究一种新的结构载荷识别的混合方法以提高载荷识别精度，这里针对正则化方法的几种典型方法：Tikhonov方法、截断奇异值分解（TSVD）方法、LSQR方法以及不同的参数选取原则进行了不同识别方法组合与载荷识别精度的技术研究。混合识别研究方法中主要通过确定正则化算子，针对不同的载荷类型采用合理的正则化参数确定最优的参数值，包括L曲线方法和GCV方法，增加求解的条件进而求解外部输入的动态载荷。

混合载荷识别方法的研究步骤包括：

（1）通过Green函数法结合Duhamel卷积积分方程建立实际的机械结构载荷识别的正问题模型。

（2）建立结构有限元模型进行计算与试验模态分析，确定模态参数，和对有限元模型进行模态修正。

（3）比较不同的正则化方法的组合和参数选取原则，结合仿真与实测的结构振动响应，且根据不同的载荷类型（载荷幅值、频率、位置和传感器或应变片的布置数量等）进行混合载荷识别技术研究。

（4）由于实测的结构振动响应数据存在噪声，且结构系统响应矩阵的病态特性，需要结合动力学的逆问题理论，利用正则化方法解决问题的不适定性。其中，最优的正则化参数α或者k的选取，主要是利用L曲线准则或者广义交叉验证（GCV）方法等确定，并进行正则化计算，以有效识别结构载荷。

利用混合识别方法进行结构载荷识别的技术路线如图3所示。

3算例

3.1数值建模仿真与分析算例中，建立长为1 m的悬臂梁结构的有限元模型，材料弹性模量为70 GPa，泊松比为0.3，密度为2700 kg/m3，结构阻尼为比例阻尼。该模型由12个节点，11个单元组成。在7号和11号节点处施加2个动态载荷，取动态响应的测量位置为6号节点和10号节点。标记112表示节点编号，①表示单元编号。梁结构的边界条件为：一端为固定约束，另一端为自由约束。在垂直于梁结构的z方向施加动态载荷F1（t）和垂直于梁结构的y方向施加动态载荷F2（t），如图4所示。其中，R1和R2分别表示振动响应的测点，箭头表示了载荷位置。

下面分别针对正则化技术和不同正则化参数选取方法进行比较性研究，以便寻找合适的载荷识别方法。

3.1.1Tikhonov+L曲线方法

以L曲线准则选择最优的正则化参数值，利用Tikhonov方法进行正则化求解，获得载荷时间历程结果如图5所示。

通过L曲线准则选择最优的正则化参数值，再通过Tikhonov方法结合LSQR方法进行正则化的求解，得到载荷时间历程的结果如图7，8所示。

3.1.3TSVD +GCV曲线方法

利用广义交叉验证（GCV）最优的正则化参数值，结合截断奇异值分解法（TSVD， Truncated Singular Value Decomposition）求解，获得载荷时间历程的识别结果如图9，10所示。

3.1.4TSVD+LSQR+ GCV准则

用GCV曲线选择最优的正则化参数值，通过Tikhonov结合LSQR方法进行正则化的求解，得到载荷识别的结果如图11，12所示。

通过4种不同的正则化方法和不同的参数选取原则进行结构载荷识别，这几种组合方法识别的结果比较如表1所示。

较好很好从解的收敛性、曲线光滑性及载荷值在每个时间点的波动值等方面判断，每一种方法各有优缺点，针对不同的载荷类型有不同的识别精度。Tikhonov+LSQR+L曲线方法与TSVD+LSQR+GCV曲线方法对两类载荷的总体识别相对误差较小，相关系数较高。这也说明混合识别方法不会随着噪声级别的变化而出现大的改变，适合于受外界噪声影响较大的载荷识别，识别出的各个时间点的载荷具有较小波动性，曲线光滑性较好，且收敛性很好，准确度较高。另外，奇异值分解法（TSVD）对于原病态核函数的小奇异值进行截断，截断后的矩阵趋于良性，对于实际噪声干扰放大作用的处理比较明显，对正弦或三角函数载荷的识别效果和混合法相差不大，也能保持一定的精度。综合而言，这也说明单一方法在识别过程中比混合方法的识别精度要差一些。

3.2试验验证

试验对象为与数值仿真模型同类型的梁结构，且对梁结构进行模态实验测试。利用DH9522动态信号测试分析系统获取结构的前4阶固有频率，模态振型及其阻尼比。根据试验数据进行有限元模型的模态修正[1819]。实验所使用的主要设备如表2所示。

利用混合识别方法获得的载荷时间历程与实验测得的数据吻合度较好。限于篇幅识别数据不在这里一一列出。尽管部分数据的识别结果中由于奇异值对于实际噪声干扰的放大作用比较明显，存在一定的误差，但是总体来说混合方法能够在一定程度上有效地识别实际结构所承受的载荷。

4结论

针对现有的载荷识别技术在轨道车辆工程的基础研究和工程应用中存在着识别算法不完善和精度不足的技术问题，本文通过研究几种典型的正则化方法和参数的不同选取原则的组合进行了载荷识别的混合识别技术研究，并结合试验结果对结构载荷识别精度影响的差异性进行了对比分析。研究结果表明：针对不同的载荷类型进行载荷识别方法的选择比较重要，尤其几种载荷识别方法的组合可以有效地进行结构的载荷识别，降低当前由于识别精度不足导致工程应用遇到的技术难题。对于未来将载荷识别技术应用在轨道车辆关键结构部件的结构健康监控中具有重要的工程应用价值。

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Abstract： The complexity and nonlinearity of the actual structure can lead to the serious illpositivity of the system response matrix，which have a great influence on the prediction accuracy of the load recognition results. In this paper， a hybrid identification method based on kernel function and different regularization method is proposed to improve the recognition accuracy. Firstly， the structure kinetic equation is established according to the inverse problem theory of structural system and the Green kernel function. Secondly， regularization techniques such as Tikhonov method， truncated singular value decomposition （TSVD） method and LSQR method， are used to add the virtual boundary constraint conditions to solve the problem of uncertainty through hybrid method. Finally， the numerical calculation and experimental verification of load identification are performed. The results show that the best load identification results is obtained by the hybrid method in which the GCV curve is used to choose the optimal regularization parameters and the Tikhonov method combined with LSQR method is used to obtained regularized solution. Although there exists some dispersion error in prediction data， the recognition ability is good， the overall error is relative small， the correlation coefficient is slightly larger. This hybrid load recognition method based on Green function and regularization hybrid method can be effectively applied to engineering.

Key words： load identification； structural dynamics； inverse problem； regularization method； finite element method