剖析解题思维 聚焦核心素养

赵智勇 张立界

数学核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析.这些都是数学课程目标的集中体现.通过解题，如何提升思维水平？如何真正发挥题目的价值？在数学学习过程中逐步形成应具备的数学核心素养，是每一个数学学习者所必须思考并践行的问题.下面通过“一道2016年武汉市中考题数学试题”解题和反思的心路历程，对如何学会解题进行探讨.

思考：这种解法类比第（2）问的第①小问的思路和方法，利用三角形中位线的性质将条件∠BMP=60°转移为∠ECP=60°，构造相似三角形（△ECP∽△EAC）使问题得以解决.过点C作AB边的垂线，可以将题目中的45°和60°条件分别转化到含有45°和60°的两个特殊的直角三角形中，利用其三边比的关系，可以快速求得AB=1+3，BC=6.

2.直面中点 直接转化

反思上面本题的解答过程，可以发现利用好本问题中“M为线段CP的中点”这一个重要的条件构造三角形的中位线是解答关键；中点具有许多优美的性质可以利用，我们能不能直接在中点M处做文章呢？因此，考虑过点M作垂线或平行线，利用中点直接实现转化，减少思维弯道.

思考：这种解法，是直接利用中点M构造三角形的中位线，并将条件∠BMP=∠A=60°转化为∠BMP=∠BFM=60°，从而得到相似三角形（△BMP∽△BFM）.同时构造直角三角形，集中条件，用BP的长表示BM2.解题时，尽量集中有利条件，更便于求解.

3.数形结合 创新转化

对于一些圖形比较简洁，数量关系明确的数学问题，若我们借助于坐标系研究，常常能出奇制胜，可以使复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法.

思考：数形结合为我们提供了新的思路，省却了添加辅助线构造直角三角形求BM2的过程；我们可以看到，在图形相对比较规则，数量关系比较明确的前提下，数形结合的方法能给我们提供相对比较固定而且有效的方法.

4.面积方法 再现经典

面积法是解决三角形和四边形问题的经典方法之一.早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了（命题Ⅵ. 2）： “将三角形两腰分割成成比例的线段，则分点连线段平行于三角形的底边.”欧几里得证明该定理的方法是：将线段之间的关系转化为三角形面积之间的关系，再将三角形面积之间的关系转化为线段的位置关系.这种 “利用三角形面积作为转化桥梁”的思路和方法，同样适用于线段求解的问题.如我们可用不同的方式表示同一个三角形的面积，然后建关系式，也常用同底等高、等底同高、等底等高的相等面积解决问题.

思考：解法4利用面积关系得到关系式x=ab，利用勾股定理得到了a，b，x之间的关系式②和③，其实利用相似三角形的判定和性质或用余弦定理、中线定理等，也可以得到可替代的结果.

三、反思归纳 提升素养

解答数学习题的实质是什么呢？《怎样学会解数学题》（原苏联，弗里德曼等著）一书认为“解数学题，这就是要找到一种一般数学原理（定义、公理、定理、定律、公式）的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论（解题的中间结果），得到习题所要的东西，即习题的答案”.这是“关于解答数学习题实质的初步的，最一般的说明”.

此题方法较多，原因在于此题图形中明着含有中点、中线，暗着含有中位线，还含有特殊角45°、60°等.解题时，就是要找到关于中点、特殊角一般数学原理的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论，即可得到题目的答案.

波利亚说过，“没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.本题的探究过程也恰恰说明了这一观点.品味数学史上的问题，体会前人解决问题的策略和方法，对今天的学习有帮助和启示作用.对解题过程进行深入探讨并及时反思归纳，有助于感悟数学知识之谐，方法之美，思想之光，体验探究之乐，文化之魅，并帮助我们理解数学解题之道.因此，“应当学会这样一种对待习题的态度，即：把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标”，如此，才能加深对题目的认识，进而尽可能的发挥题目的教育价值，提升思维水平，培养理性精神和探究意识，在数学学习过程中逐步发展应具备的数学核心素养.