基于Mathematica的杨氏双缝干涉实验仿真

王高亮，孟 明，王 强

(周口师范学院 物理与电信工程学院，河南 周口 466001)

1690年，荷兰物理学家惠更斯在《论光》一书中，提出了惠更斯原理：波阵面上每一点都可以看作是发射子波的波源，各自发出球面子波，其后任意时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面，惠更斯发展了光的波动学说[1]. 1802年，英国的托马斯•杨在研究人眼对颜色视觉效应时，他想出了一个巧妙的方法，演示了光的干涉现象，进一步为光的波动性提供了坚实的实验基础[2]. 杨氏双缝干涉实验是大学物理光学实验中的重要实验之一，在科学研究和工程技术上有着广泛的应用. 以往大学物理课本中，只给出了原理，及形成的一系列的平行等间距的明暗相间的干涉条纹，并指出中央明纹最亮，其他级次的条纹亮度逐级减小，这给学生们的理解产生了很大的困惑[3-4]. 并且传统的杨氏双缝实验对实验条件、设备和场地等有特别的要求，必须在专业的实验室内进行，而有部分院校缺少实验仪器等等[5]. 根据杨氏双缝干涉的理论基础，利用Mathematica为计算工具，对杨氏双缝现象进行仿真，建立了基于计算机系统的模型，在脱离了实验环境和实验设备的约束下，引导读者通过物理计算，进行杨氏双缝干涉的虚拟实验，深化学生对杨氏双缝实验的理解，达到更好地掌握大学物理内容的目的，对大学物理教育有非常重要的意义.

1 杨氏双缝实验原理

图1 杨氏双缝实验原理图

杨氏双缝干涉实验原理如图1所示，其中小孔S发出球面波，可视为点光源，狭缝S1，S2到S的距离相等. 根据惠更斯原理，如果狭缝S1，S2所处位置是球面波的波阵面，则S1，S2可看成发射子波的新波源，其产生的波在空间相遇，因满足频率相同、振动方向相同、位相差恒定的相干条件，则在波场会产生干涉现象，这种方法称为分波阵面法获得相干光. 由于激光的产生，利用其良好的单色性，代替原来的普通光源，在重叠区域会产生干涉现象，便可在干涉屏上观察到明暗相间的干涉条纹，在干涉场通过光与物质的作用，曝光、显影之后就可以在合适的感光材料上记录全息图样，从而可以制作一维光子晶体[6-8].

根据原理图，可以对干涉条纹的位置、间距做定量分析. 如图1所示，双缝S1，S2的间距为d，缝到干涉屏之间的距离为D，一般情况下d<

(1)

则P点的光强决定于从S1，S2发出的两束光的相位差，决定于光程差，也就是决定于两束光的光程差δ. 相位差

(2)

由于分波面法，两列相干波的初相相同，则有：

(3)

干涉加强或减弱的条件

(4)

k=0,±1,±2,±3，...，其中k为级次，明纹位置

(5)

k=0,±1,±2,±3，...，从中可以看出，k=0，称为中央明纹或零级明纹，干涉条纹的级次k越大，x越大，离中央明纹越远.

(6)

k=0,±1,±2,±3，...

暗纹位置

(7)

k=0,±1,±2,±3，...

其他都是界于最明和最暗之间.

相邻的两明(暗)条纹的距离为

(8)

说明，当θ不太大时，干涉场是一系列的平行等间距的明暗相间的条纹，条纹是等间距分布的.

杨氏双缝实验在实际的应用中，可以测量入射光的波长. 由式(5)可得

(9)

或根据式(8)，可以得到

(10)

2 仿真程序的编写

Clear[t] %首先清除变量

λ=0.532; %设定波长

z=100;%观察点，即干涉场点

a=125;

r1=z+((x+a/2)2+y2)/(2z);%S1到P点的光程

r2=z+((x-a/2)2+y2)/(2z);%S1到P点的光程

t=Abs[u1+u2];%P点光强

ContourPlot[t2,{x,-2,2},{y,-2,2},ContourLines→False,Frame→True,PlotRange→{Automatic,0.00014},ColorFunction©Black,FrameLabel→{"x(mm)","y(mm)"," ",""}] %仿真画出P点光强的等高图.

3 仿真结果及波长、D对干涉条纹的影响

根据式(5)、(7)、(8)，可以在实验中设定入射光的波长λ，双缝S1，S2的间距为d，缝到干涉屏之间的距离为D的值，进一步观察影响干涉条纹明(暗)纹位置、明(暗)纹间距的因素.

3.1 波长对干涉条纹的影响

当d,D一定时，同过改变入射光的波长，可以得到不同的干涉条纹. 模拟的结果如图2所示，双缝的间距d为10 μm，D为100 μm时的干涉图样，从图中可以看出是一组平行的明暗相间的直条纹.

图2(a)是入射光的波长为390 nm，形成的干涉条纹周期为422 nm,达到了光波长量级，可以看作是一维的光子晶体；图2(b)是入射光的波长为532 nm，周期变化不大，但是明纹的宽度有了明显的加宽；图2(c)是入射光的波长为690 nm，其周期为542 nm；图2(d)是入射光的波长为760 nm，其周期为600 nm. 从这几幅图中，可以看到，随着光波长的增加，周期也在增加，即明暗条纹的间距也在增加，验证了公式(8)的正确性.

3.2 改变D对干涉的影响

当入射光的光波长λ和双缝的间距d一定时，同过改变缝和屏的间距，可以得到光栅常数不同的干涉条纹. 模拟的结果如图3所示，入射波长λ=532 nm，d为10 μm时的干涉图样.

图2 改变波长λ形成的干涉图

图3 改变D形成的干涉图

图3(a)是D=100 μm时的干涉图样，从图中可以看到周期为0.420 μm;(b)是D=125 μm时的干涉图样，从图中可以看到周期增大，变为0.615 μm;(c)是D=150 μm时的干涉图样，从图中可以看到明纹增宽，周期为0.667 μm;(d)是D=200 μm时的干涉图样，从图中可以看到周期为0.889 μm.

4 实验结果分析

按照实验原理搭建光路，用波长为532 nm的半导体激光器和波长为632 nm的氦氖激光器代替普通光源，在干涉场通过显微镜观察干涉图案，并用照相机或记录介质记录干涉图结构[9-13]. 如图4所示，可以清楚地看到平行直条纹的干涉图样，与图2、图3的理论计算结果吻合的非常好.

5 结论

运用Mathematica理论计算了杨氏双缝干涉光场的干涉图样，搭建了实验光路，记录了全息干涉图，实验观察结果与理论模拟很好的吻合. 通过改变影响明纹位置、明纹间距因素的参数波长λ和缝到屏的间距D,得到了周期不同、光栅常数不同的干涉图样. 论文的创新之处，运用Mathematica理论计算杨氏双缝干涉实验，特别是对实验条件达不到的院校，也可以使学生加深对实验现象，实验规律和实验原理的掌握，仿真模型极大地节约了实验成本，实现资源共享. 此外，运用激光干涉，也可以大规模地制作波长量级的一维光子晶体.

图4 不同放大倍数的干涉图样