输流曲管面内振动的小波有限元方法研究

曹建华， 刘永寿， 刘 伟

(1.西北工业大学 力学与土木建筑学院，西安 710029;2.黄山学院 机电工程学院，安徽 黄山 245021)

在现代工业中，输流管道应用非常广泛，振动现象引起了许多学者的研究，取得了很多的成果。大部分文献集中在输流直管的研究[1]，而曲管相对较少。Svetlitskii[2]首先采用绳索模型研究输流曲管面外振动。Chen[3-5]在曲管研究方向作出巨大的贡献。他分别用牛顿法和哈密顿法推导了曲管的面内振动微分方程，并利用哈密顿方法推导了面外振动微分方程。他发现两端固定端的和简支的曲管，当流速超过某一临界值时，发现屈曲。Hill等[6]研究了诸如环形、S开、L形和螺旋形输流曲管的振动稳定性。Misra等[7-8]在前人的基础上，重新细致研究了输流曲管的振动稳定性，并将曲管研究分成三类：轴线不可伸缩理论、轴线不可伸缩修正理论和轴线可伸缩理论，并采用传统有限元进行求解振动问题。Jung等[9-10]采用一种新的流速表达式，采用哈密顿法推导了输流曲管面内和面外振动微分方程，并与由其他流速表达式所导出的方程相比较。Ni等[11-12]在曲管计算方法和非线性动力研究上作出了卓越的贡献，他们利用微分积分法研究了输流曲管在非线性约束下的动力学行为。Wang等[13]研究了广义微分积分法(GDQR)在曲管面内振动的应用。

在文献中，输流管道振动微分方程的求解方法有很多种，传递矩阵法[14]，伽辽金法[15]，有限差分法[16]，波动法[17]，微分积分法(DQM)和有限元法。在诸多文献中，有限元方法是应用较多的。在有限元方法中，选择插值函数最为关键。由于小波紧支撑、光滑和对称特性，小波用于数值计算，越来越受到关注。Chen等[18]采用Daubechies小波，构建薄板单元，以及应用于求解热传递问题。Han等[19]分别应用2阶和4阶样条小波尺度函数构建了薄板单元。Xiang等[20]采用埃尔米特区间样条小波构建轴单元，Zhong等[21]分别采用2阶和4阶样条小波函数构建了弹性实体单元。

本文首先在Misra所推导的公式基础上简化输流曲管微分方程，然后简述样条小波理论，利用区间样条小波作为插值函数，建立尺度为4，阶数为6的区间样条小波BSWI64新型输流曲管单元，并用于离散曲管面内振动方程，最后求解直管和曲管面内振动问题，并将仿真结果与前人的文献对比，验证小波有限元方法的精度。

1 输流曲管的面内振动微分方程

如图1所示曲管，据Paidoussis和Misra可知，若无管外流体影响，输流曲管的面内振动无量纲微分方程可简化如下

(1)

图1 曲管模型Fig.1 The geometry of a curved pipe

输流曲管两种边界条件分别为

2 输流曲管的小波有限元

本节首先简述样条小波尺度函数的定义，选取尺度为4、阶数为6的样条小波尺度函数作为有限元的插值函数，最后根据传统有限元的过程，用小波有限元离散式(1)，推导小波有限元矩阵。

2.1 样条小波尺度函数

区间[0,1]的B-样条定义如下：序列点

j∈N0(自然数)，B-样条函数表达式为

(2)

(3)

因此,在区间[0,1]上样条小波的尺度函数可写成向量形式

(4)

其中ξ∈[0,1][0,1]，且2j0≥2m-1

在本文中， 小波有限元求解采用BSWI64样条小波尺度函数作为插值函数，BSWI64样条小波尺度函数如图2所示。

2.2 输流曲管的小波有限元格式

采用样条小波尺度函数作为位移场的插值函数，其位移场函数η(ξ)可表示为

(5)

其中：

图2 区间[0,1]的BSWI64的尺度函数Fig.2 The scaling function of BSWI64 in the interval[0,1]

定义单元物理自由度ηe为

(6)

其中le为单元长度，ξi=(i-1)/2j,i=1,…,2j+1。

将式(5)中不同节点的η(ξi)分别代入(6)式，可以得到

ηe=Reae

(7)

其中，

(8)

将式(7)代入式(5)

η(ξ)=Φ(Re)-1ηe=Nηe

(9)

其中N=Φ(Re)-1是形函数向量。

采用传统有限元方法过程，将式(1)进行离散，得到单元矩阵，单元离散方程如下

(10)

其中小波单元质量矩阵、小波单元阻尼矩阵和小波单元刚度矩阵分别为

(11)

(12)

(13)

采用传统有限元组合程序，可以得到系统矩阵，比如系统质量矩阵Mg，系统阻尼矩阵Cg，系统刚度矩阵Kg和系统位移向量η(t)，其全局离散方程如下

(14)

3 数值算例

本节首先采用上述方法计算输流直管，并与伽辽金法、传统有限元方法相比较，然后分别求解基于轴线不可伸缩和基于修正轴线不可伸缩的输流曲管例子，并与Misra所得的数值结果对比。

3.1 输流直管算例

采用曲管单元计算直管的固有频率，将Θ和Πo设为0，即为直管模型，以此模型来计算直管。如表1所示，列出三种方法(伽辽金法，传统有限元，小波有限元法)，计算四种不同边界条件(两端固定、一端固定一端简支、一端固定一端自由、两端简支)的输流直管的前5阶无量纲固有频率的数值结果。伽辽金方法采用六阶，传统有限元采用6个单元，而小波有限元仅用一个单元。从数值对比可以看出，小波有限元计算结果与其它两种方法所得结果差别不大。

表1 输流直管的无量纲固有频率Tab.1 The natural frequency of fluid-conveying straight pipe

3.2 Πo=0时输流曲管的数值算例

令Πo=0和β=0.5时，采用传统有限元和样条小波有限元，分别计算半圆输流曲管在三种边界条件(两端固端，一端固定一端简支，两端简支)下的前四阶频率实部随流体速度变化，并进行对比。传统有限元采用12个单元，小波有限元采用1个单元。由图3～图5可知，随着流速的增大，每阶频率都在减小，一直减小至0，且两种方法的计算结果吻合较好。

图3 两端固定的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo=0)

Fig.3 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two fixed ends as a function of flow velocity (Πo=0)

图4 一端固定，一端简支的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo=0)

Fig.4 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with one fixed end and one simply supported end as a function of flow velocity (Πo=0)

图5 两端简支的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo=0)

Fig.5 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two simply supported ends as a function of flow velocity (Πo=0)

3.3 Πo≠0时输流曲管的数值算例

令Πo≠0和β=0.5时，采用传统有限元和样条小波有限元，分别计算半圆输流曲管在三种边界条件(两端固端，一端固定一端简支，两端简支)下的前四阶频率实部随流体速度变化，并进行对比。传统有限元采用12个单元，而小波有限元采用1个单元。从图6～图8可以看出，随着流速的增大，前三阶频率实部都在缓慢减小，一直减小，与轴线不可伸缩模型不同的是，但第四阶频率实部在增长，且两种方法的计算结果吻合。

图6 两端固定的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo≠0)

Fig.6 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two fixed ends as a function of flow velocity (Πo≠0)

图7 一端固定，一端简支的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo≠0)

Fig.7 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with one fixed end and one simply supported end as a function of flow velocity (Πo≠0)

图8 两端简支的半圆形输流曲管前四阶频率实部随流速变化曲线(Πo≠0)

Fig.8 Dimensionless frequencies of a fluid-conveying semi-circular pipe with two simply supported ends as a function of flow velocity (Πo≠0)

4 结 论

针对输流曲管面内流致振动的无量纲控制微分方程，采用尺度为4，阶数为6的区间样条小波尺度函数作为位移场的插值函数，建立了新型小波输流曲管单元，列出了小波单元质量矩阵、小波单元刚度矩阵和小波单元阻尼矩阵，应用于求解输流直管和曲管流致振动问题。

通过数值结果对比，在求解输流直管频率上，与伽辽金方法、传统有限元方法的所得结果对比，差别不大；在分别求解两种理论模型下的输流曲管频率实部随流速变化的曲线上，小波有限元与传统有限元所得结果非常吻合，所得曲线几乎重合。在计算过程中，小波有限元仅采用一个单元，计算时间短，数值结果可靠。

综上所述，新型小波曲管单元在求解输流曲管面内线性振动问题有一定的优势，而在曲管非线性振动的应用上，需要进一步的研究。