浅谈圆的性质在椭圆中的推广及应用

李盛林

【摘要】类比思维是数学研究中常用的一种思维方式，在中学阶段数学领域当中根据圆的性质可以推导出椭圆的性质.本文利用类比思维和推导法等数学研究方法对中学阶段数学几何学当中圆与椭圆之间的性质关系进行了分类研究，通过圆的基本性质推导得出椭圆的基本性质，可以为关注这一方面的教师们提供一些可信度较高的参考意见，提高中学生几何学的学习能力.

【关键词】圆的性质；椭圆的性质；类比思维

随着我国国民经济的增长，社会各界对我国教育事业，特别是中学阶段的数学几何教学领域关注程度越来越高.在此种环境背景下，中学数学教师需要不断进行教学方法的创新性发展，根据中学阶段学生们的学习特点和对知识的接受水平，研究出更加具有实际应用价值的新型教学法.其中最具有代表性的就是利用类比思维研究和推导圆和椭圆的性质关系，在中学数学课堂教学中具有良好的应用价值.

一、根据圆的面积类比求出椭圆的面积

圆的性质有很多，因为圆和椭圆之间较为相似，而类比知识恰好能够在其中得到全面的应用，通过对圆的面积性质、非零斜率、弦性规律等内容的了解，能够对应用到椭圆知识中去，从而更好地学习椭圆知识[1].

（一）性质内容

假设圆O的半径为a，根据圆的面积计算公式可以得知圆的面积应该为πa2，而由于两条半径构成一条直径，因此，可以将圆的面积计算理解为πa·a；通过这一性质内容进行类比分析，能够对椭圆的面积进行计算.与圆的半径不同，椭圆当中分别具有长半轴和短半轴，当椭圆的长半轴长为a，短半轴长度为b，则可以对椭圆的面积进行求解，可以得到πab.

（二）类比所得椭圆的性质内容

椭圆和圆在面积的计算当中，都涉及了π的概念，而与圆面积相比，椭圆的面积计算，也是半径的长度和π之间的关系的研究，因此，可以将椭圆理解成为沿着竖直方向上的圆的等比例压缩，而在水平方向上，长度则始终保持不变，竖直方向上a转变成为b，因此，结合圆的面积计算方法可以获知椭圆的面积计算公式为πab.

二、根据圆的切线方程类比出椭圆的切线方程

（一）性质内容

设圆O的方程为x2+y2=r2，而p（x0，y0）为圆上的某一点，则可以推理得出经过点p的切线方程为x0x+y0y=r2.通过这一性质可以与椭圆进行类比.在椭圆中，椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，其中，a>b>0，而点p（x0，y0）则为椭圆上的一点，因此，可以类比得到过点p的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

（二）类比所得椭圆的性质内容

设椭圆在点p处的切线方程为y-y0=k（x-x0），通过与椭圆标准方程进行联立，就可以获得一个关于x的标准方程.其中，椭圆的标准方程如上文所示为x2a2+y2b2=1，通过联立法可以用x对y进行表示，从而消除y，得到一元二次方程.而在计算题干当中，点p（x0，y0）与所计算的椭圆相切，表明方程只存在一个解，因此，可以得知，Δ=0，从而能够得到过点p的切线的斜率k，通过化简方程，最终可以求得过点p的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

三、根据圆的非零斜率类比出椭圆的非零斜率

（一）性质内容

在圆的第三个定理中，假设AB是圆O的半径，P为圆O上的任意一点，分别连接PA和PB两点后，直线PA，PB都会存在非零斜率，分别为kPA，kPB，而且kPAkPB=1.

（二）类比所得椭圆的性质内容

因此，可知，如果AB为椭圆过坐标原点产生的线段，而P为椭圆上的任意一点，此时，连接PA，PB，也会存在非零斜率，且kPAkPB=-b2a2.假设A（acosθ，bsinθ），而P（acosφ，bsinφ），那么B（-acosθ，-bsinθ）.经过对PA，PB的非零斜率计算后，就能够得出具体的结论.

四、圆的弦性定理类比出椭圆的弦性定理

（一）性质内容

圆的第四个定理中，AB，CD是圆O的两条弦，而直线AB，CD相交于点P，则PA·PB=PD·PC.

（二）类比所得椭圆的性质内容

由上述内容可以推断出如果在条件相同的椭圆中，也会存在PA·PB=PD·PC.设两条直线之间形成的倾斜角为θ、φ，相交点P的坐标为（x0，y0），那么两条弦中AB的参数方程就能够表示出来，继而将AB的参数方程带入到椭圆方程中，并且进行进一步的简化，并且根据参数t的几何意义，就能够验证这一定理.

五、圆的切线性质类比出椭圆切线定理

（一）性质内容

在圆的性质中还存在一个切线定理，AB是圆C和x轴相交形成的直径，且直线l和x轴垂直，此时经过圆上任意一点P，且不同于A，B两点，分别作直线PA和PB，与直线l相交于M，N连点，此时将MN线段的中点Q和圆C上的点P相连，则直线PQ是圆C的切线[2].

（二）类比所得椭圆的性質

由此可以推断出，如果在条件相同的椭圆中，直线PQ也会是椭圆C的切线.证明：椭圆上P点坐标为（x0，y0），而直线PA，PB的斜率为k1和k2，此时k1+k2=2b2x0a2y0，最终求得MN的中点Q的坐标，推理出直线PQ和椭圆相切.

六、总结

综上所述，在新课程改革不断深化发展的背景下，我国中学阶段的数学教师需要不断提高自身的专业素质和创新能力，在为学生们讲解新的理论知识时，可以通过引入旧知识的方式，为学生们奠定良好的学习基础，降低学生们在面对未知领域知识学习的心理负担.对中学生而言，利用类比思维进行学习，可以帮助自身提高知识迁移和应用能力，最终培养起全局思维的能力.

【参考文献】

[1]王新宏.圆的性质在椭圆中的推广及其简单应用[J].数理化学习（高三版），2013（8）：15-16.

[2]赵爱祥.椭圆性质及其应用[J].湖南城市学院学报（自然科学版），2015（4）：73-74.