用电梯的升降运动解释立体几何中的平行问题

李洪波

高中立体几何的平行问题是一个重点内容，同时也是学生学习的一个难点问题.有些问题即使是教师讲解多次，学生掌握得仍然不好.其中，有很大一部分原因是学生对图形的感受性不足，不能与自己的生活常识联系起来，也不能与自己已掌握的知识产生联系.我们知道，对于看得见，摸得着，可以想象的东西，我们研究起来就会更容易一些，也更容易把它们从实际中抽象出来进行概念研究.本文结合生活中电梯的升降运动来帮助学生理解立体几何中的平行问题.

我们知道，如果一条直线与平面平行，那么这条直线可以通过平移进入到这个平面内.这和我们在日常生活中电梯的运行方式非常相似，如图1所示，电梯在运行过程中，可以看成是AB沿着l1，l2平行移动，最终AB就会平移到地面.

图中有两条导轨l1，l2，它们是平行的，A，B分别在其中的一条上运动，这样平移前后很容易构造平行四边形，这是我们常用的利用平行四边形找平行线的办法；如果l1，l2不平行，则可以利用梯形（上下底平行，中位线平行）或三角形（等比例平行，如中位线）来找平行线，如图2所示.

在这里，最重要就是要找到两条导轨，它们可以平行，也可以相交，但不能异面.

下面我们用电梯的升降运动来解释一下具体操作过程：

我们证明线面平行问题时一般会用到下面两个定理：

（1）通过证明线线平行来得到线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

（2）通过证明面面平行来得到线面平行：若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行.

事实上无论是采用哪种证明途径，不可绕过的一步就是一定要有线线平行，怎样找这个平行线是实际解题中的一个难点.

下面以2016年全国文科数学3卷第19题为例详细说明：

例如图3所示，四棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BA=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.证明：MN∥平面PAB.

思路一通过证明线线平行来得到线面平行

分析1我们要将MN平移到平面PAB内，首先要找到两条导轨，让M，N两点分别沿着导轨滑动.在已有的直线中，点M在直线AD上，而AD又是与平面PAB相交的，所以可以让点M沿AD移动到平面PAB内，下面就要找点N的导轨了.这里引导学生想象一下，当MN移动时，点N会在平面PBC上留下“痕迹”，让学生试着把这个“痕迹”画一画，注意到点N是中点，大多数学生都会认为这个“痕迹”就是△PBC的中位线TN，让点N沿着TN移动就行了.在这里鼓励学生大胆假设，小心求证，有助于锻炼他们的空间想象能力.

证明1作PB中点T，连接TN，TA.

由于点N是PC中点，所以TN∥BC，且TN=12BC=2.

由于AM=2MD，所以AM=2.

又AD∥BC，所以四边形MNTA是平行四边形，

所以MN∥TA.

又MN平面PAB，TA平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

分析2另外，在已有的直线中，点N是在直线PC上，而PC也是与平面PAB相交的，可以让点N沿PC移动到平面PAB内，下面就要找点M的导轨了.MN向“后”平移，寻找点M的“痕迹”对学生来说有些难度，这里可以建议学生反向思考，既然向“后”平移困难，不妨让MN向“前”移动，让M，N都移到点C处，这时，点M在平面ABCD上留下“痕迹”就是MC了，那么如果向“后”移动呢？自然就会在MC的延长线上，延长MC与BA延长线交于点T，连接PT，证明MN∥PT就行了.这里应用“正难则反”的数学思想，使得“柳暗花明又一村”，突破了难点.

证明2连接MC，并延长与BA延长线交于点T，连接PT（如图4所示）.

在△TBC中，AM∥BC，且AM=12BC，所以AM是△TBC中位线，故点M是TC中点.

又点N是PC中点，所以MN是△CPT中位线，

故MN∥PT.

因为MN平面PAB，PT平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

以上两种解法都是充分利用题目已有的条件，让点沿着与平面相交的直线平移，最终把直线平移到平面内，平移后的直线就是我们要找的线线平行.证明1的两条导轨是平行的，证明2的两条导轨是相交的，这也是我们利用平行四边形与三角形中位线来找平行的具体运用.

思路二通过证明面面平行来得到线面平行

分析1如果想要构造一个过MN平行于平面PAB的平面，一般情况下我们可以在现有的平面内先构造平行于平面PAB的一条直线，再来构造平面.这里我们还是要盯紧点M，N，先以点N为例，我们可以过点N作平行于PB的直线交BC于Q，再连接QM就会有新平面MNQ，下面只需要证明它与平面PAB平行即可.

证明3过点N作平行于PB的直线交BC于Q，连接QM，如图5所示，在△CPB中，CN=NP，QN∥PB，则QN为△CPB中位线，所以BQ=QC=2.

又AM=2，且AM∥BQ，

所以四边形AMQB为平行四边形，所以QM∥AB.

又因为QN，QM平面QMN，且QN∩QM=Q，

所以平面QMN∥平面PAB.

又MN平面QMN，所以MN∥平面PAB.

分析2在这里我们是过点N作平行于PB的直线，有同学就提出疑问，还能作其他的平行线吗？当然可以，可以过点N作平行于PA的直线（如图6所示）.事实上，我们可以在PA，PB，AB三条直线中找一条相对容易作的即可.

分析3同样的道理，我们来过点M作平行线，PA，PB，AB三条直线中，PA，AB的平行线容易作出.

（1）过点M作平行于AB的直线，交BC于Q，連接QM（如图7所示）；

（2）过点M作平行于PA的直线，交PD于Q，连接QM（如图8所示）.

作到这里，善于思考的同学已经发现图7与图5是一模一样的，为什么会这样呢？其实从图5到图8，这几个新作出平面本来就是同一个平面，只是外观有所不同.这是因为过平面外的一条与已知平面平行的直线，有且只有一个平面与已知平面平行.

在以上的各种证明过程中，问题的本质还是要找线线平行，思路1是把直线平移到平面内，思路2是把平面内的直线平移出来.把直线平移进去，除了一些较明显的能利用平行四边形与三角形中位线的情况外，其他的对学生的空间想象能力要求较高；把直线移出来相对简单一些，一是因为现有的直线较多，选择余地较大，另外是因为一般有现成的平面作为平移的载体.在实际教学中，我们要让学生从多个方面考虑问题，多参照生活中的实例来提升自己的空间想象能力.