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五、轴定点改为内定点
例6求证:过抛物线内定点G的直线交抛物线于A,B两点,作抛物线A,B两点切线,交于P点,P点轨迹为直线l1.
证明设A,B,G坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0),
lAP:yy1=p(x+x1),
lBP:yy2=p(x+x2).
联立得xP=y1y22p,
yP=y1+y22,
lAB:2px-(y1+y2)y+y1y2=0.
∵抛物线过G点,∴2px0-(y1+y2)y0+y1y2=0,
∴2px0-2yPy0+2pxP=0,
∴P点轨迹方程为px-y0y+px0=0.
六、定点不动变切为割
接下来让我们研究的内容更深入一下,让定点不变,比如,定点就是焦点,或者定点就是x正半轴上的任意点,又或者是抛物线内部任意的定点,然后让切线变成割线又会如何呢?问题将变得越来越有意思,请看例题.
例7求证:抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线.
证明设A,B,C,D的坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),
lAB:2px-(y1+y2)y+y1y2=0,
lCD:2px-(y3+y4)y+y3y4=0,
∵直线AB,CD过F点,
∴y1y2=y3y4=-p2,
lAD:2px-(y1+y4)y+y1y4=0,
lBC:2px-(y2+y3)y+y2y3=0.
联立直线AD,BC方程,消y得
2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3,
2px(y2+y3)+y1y2y4+y1y3y4=2px(y1+y4)+y1y2y3+y2y3y4,
2px(y2+y3-y1-y4)=p2(y1+y4-y2-y3),x=-p2.
例8求证:过抛物线对称轴上任意一定点G(c,0)的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线x=-c.
证明设A,B,C,D的坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),
lAB:2px-(y1+y2)y+y1y2=0,
lCD:2px-(y3+y4)y+y3y4=0.
∵直线AB,CD过F点,
∴y1y2=y3y4=-2pc,
lAD:2px-(y1+y4)y+y1y4=0,
lBC:2px-(y2+y3)y+y2y3=0.
联立直线AD,BC方程消y得
2px+y1y4y1+y4=2px+y2y3y2+y3,
2px(y2+y3)+y1y2y4+y1y3y4=2px(y1+y4)+y1y2y3+y2y3y4,
2px(y2+y3-y1-y4)=2pc(y1+y4-y2-y3),x=-c.
例9求證:过抛物线内定点G的两条直线分别交抛物线于A,B和C,D,直线AC和BD交于P点,P点轨迹为直线l1.
证明设A,B,C,D的坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),
G点坐标设为(x0,y0),
lAB:2px-(y1+y2)y+y1y2=0,
lCD:2px-(y3+y4)y+y3y4=0.
∵直线AB,CD过F点,
∴2px0-(y1+y2)y0+y1y2=0,①
2px0-(y3+y4)y0+y3y4=0,②
lAD:2px-(y1+y4)y+y1y4=0,
lBC:2px-(y2+y3)y+y2y3=0.
联立得xP=(y1+y4)y2y3-(y2+y3)y1y42p(y2+y3-y1-y4),
yP=2p(y2y3-y1y4)y2+y3-y1-y4,
将①和②代入上面的解中可得
xP=2y0(y2y3-y1y4)-2px0(y2+y3-y1-y4)2p(y2+y3-y1-y4)
=y0pyP-x0,
∴P点轨迹方程为px-y0y+px0=0.
最后三道例题说明:这种割线方程的使用在这里非常好用,原因在于它本身不光是割线的方程,还能够直接地将过定点的几何关系通过根与系数的关系快速表达出来.
总结:表面上这三篇以定点为线索,实为在叙述抛物线点与线对偶问题,这种对偶关系带来了太多的精彩,而本文仅仅叙述了一些基础内容,实为遗憾,希望这些可以给读者启发.