微分方程在经济管理学中的几个应用

易强　吕希元

【摘要】本文探讨了微分方程在经济数量分析，特别在动态经济模型中的应用.

【关键词】微分方程；弹性；动态均衡

微分方程是微积分学中一个重要分支，是不定积分的推广应用，作为一种经济数量分析工具非常有用，在经济领域中对弹性分析和动态均衡模型用处很广.

一、由价格弹性求需求函数

例1已知某商品的需求量Q对价格P的弹性η=-（5P+2P2）Q，又知该商品价格为10时，需求量为500，求需求函数Q=f（P）.

解由题意得

dQdP·PQ=-5P+2P2Q，

积分得Q=-5P-P2+C，

代入初始条件Q|P=10=500，得C=650，

故Q=650-5P-P2.

二、市场动态均衡价格

设市场价格P=p（t），需求函数Qd=b-ap（a，b>0），供给函数QS=-d+cp（c，d>0），又设价格P随时间t的变化率与超额需求（Qd-Qs）成正比，求价格函数P=p（t）.

由题意，有

dPdt=A·（Qd-Qs）=-A·（a+c）p+A（b+d），p|t=0=p（0），

由一阶线性方程通解公式可得

P=e-∫A（a+c）dt∫A（b+d）·e∫A（a+c）dt+C1

=b+da+c+C1·e-A（a+c）·t.

由初始条件t=0，p=p（0），得

C1=p（0）-b+da+c，

代入上式得

P=p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c，

显然，当

limt→∞p（t）=limt→∞p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c=b+da+c，

即当t→∞时，均衡价格为b+da+c.

例2若某商品的市场价格p=p（t）随时间t变动，其需求函数为Qd=3-2p，供给函数为Qs=-2+3p，又设价格p随时间t的变化率与超额需求（Qd-Qs）成正比，求价格函数p=p（t）.（注：t=0时，p（0）=5；比例系数A=6）.

解由题意，得：

dpdt=6（Qd-Qs）=-30p+30，p|t=0=5，

解得p（t）=（5-1）e-30t+1=4e-30t+1，

易知：均衡价格为p0=limt→0p（t）=1.

三、純利润与广告费的关系

已知某厂的纯利润L对广告费x的变化率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比，当x=0时，L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系.

由题意得

dLdx=k（A-L），L|x=0=L0（k为常数），

得L=A-Ce-kx，

代入初始条件L|x=0=L0，得L=A（A-L0）e-kx.

例3若某工厂的纯利润L对广告费x的变化率dLdx与常数5和纯利润L之差比为2.当x=0时，L=50，求纯利润L与广告费x之间的函数关系.

解由题意得dLdx=2（5-L），L|x=0=50，

得L（x）=5+45e-2x.

【参考文献】

[1]吴传生.经济数学：微积分[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]王永祥.应用经济数学[M].上海：上海交通大学出版社，2004.

[3]王珺，贺莉.浅谈微分方程衔接性教学[J].教育教学论坛，2017（8）：155-156.

[4]廖莉.常微分方程在数学建模中的应用[J].课程教育研究，2017（38）：139-140.