基于柔度曲率曲线拟合的薄板结构损伤识别研究

周奎，徐宏文，方早，吴伟

（上海理工大学 环境与建筑工程学院，上海 200093）

结构损伤识别一直都是结构健康监测的核心问题之一。随着现代计算机技术的飞速发展及传感器技术、信号处理技术的进步，使得测试信号能够得到准确、快速的分析处理，基于结构动力响应的损伤检测成为国内外研究的热点[1-4]。目前，许多结构损伤识别方法需要利用结构损伤前后的模态数据，如柔度曲率差、模态曲率差及模态应变能差等，这些方法之所以可以进行损伤识别是因为他们所构造的损伤指标在损伤处发生的变化要比未损伤处发生的变化更加明显，因而损伤前后数据的差值在损伤部位会明显大于未损伤部位[5-7]，但是，这些方法需要结构损伤前后的模态数据，这对于那些难以获得无损结构模态数据的结构则无法进行损伤检测。研究表明，仅利用损伤结构的数据也可以进行损伤识别，如仅用损伤结构的柔度曲率矩阵、模态曲率矩阵等。由于这些损伤指标在损伤部位有突变，观察突变的位置来进行损伤定位，但是，由于这些损伤指标在损伤处的值与周围的数据相差不大，容易误判[8-9]。徐典等[10]提出了柔度曲率曲线最小二乘法拟合的方法，将拟合后的曲线与原始曲线之间包围的面积作为损伤指标进行结构损伤识别。结果表明，该方法对梁结构具有良好的损伤定位功能。徐飞鸿等[11]提出了模态曲率曲线最小二乘法拟合的方法，将拟合后的曲线与原始曲线之间包围的面积作为损伤指标，对梁结构进行了损伤定位研究，取得了良好的效果。但是，目前关于这方面的研究大多数仅针对一维梁类结构。

本文提出柔度曲率多项式曲线拟合的结构损伤识别方法，并利用该方法对平板进行损伤识别仿真模拟。利用损伤后的平板结构前10阶模态振型和固有频率分别在X方向和Y方向计算其柔度曲率。由于其柔度曲率值在损伤位置存在突变，用多项式曲线对柔度曲率值进行拟合时，多项式曲线能够较准确地经过或靠近未损伤位置的点，而损伤位置的点则距拟合曲线较远。然后用拟合值与原始值的差值构造新的损伤指标，可以分别得到X方向和Y方向的柔度曲率拟合差，将损伤指标用Matlab绘制三维曲面图，从图像上能够精确地识别出损伤位置。该方法只需结构损伤后的模态振型数据，从而能够运用到一些难以获得健康结构的模态振型数据的结构损伤识别中。

1 基于柔度曲率曲线拟合损伤定位方法

1.1 弹性薄板柔度曲率

图1 薄板有限元模型单元划分Fig.1 Element meshing of the finite element model of thin plate

将薄板 i 阶振型的节点按照每列从小到大首尾相接的形式依次组成一个向量。

柔度矩阵的构造体现了振型和频率的综合特征，由于高阶模态对柔度的影响较小，所以，可以取前阶振型构造柔度矩阵，其表达式为n m ωm m

式中：表示第 个节点在第 阶模态下的Z方向模态位移（挠度）； 表示第 阶模态下的固有频率。

Fave FCX FCY

分别将柔度平均值矩阵 按行和列进行二次差分，可以得到X方向柔度曲率矩阵 和Y方向柔度曲率矩阵 。

X方向二次差分公式为

相应地，Y方向二次差分公式为

1.2 多项式拟合曲线

选择板的某一行（列），将行（列）的节点的损伤指标值用多项式曲线拟合。通过选择一个合适的多项式次数，可以使得拟合曲线尽可能地通过未损伤位置的节点值，而损伤位置的节点值由于有一个突变，所以，会使得该点距离拟合曲线较远。将拟合曲线上的数值与原始数值作差并平方，构造出新的损伤指标。将这个损伤指标进行三维曲面绘图，通过观察图像中是否存在明显突变位置进行损伤识别。

多项式拟合曲线的表达式为

2 算例数值计算

利用专业有限元分析软件ANSYS建立弹性薄板有限元模型。板尺寸选为长1 m，宽1 m，厚0.003 m。将板的长和宽各等间距划分25个单元，即每个单元的尺寸为0.04 m×0.04 m。单元采用实体单元 Soild186，密度取 7 850 kg/m3，杨氏模量取泊松比取0.3。将有限元模型中的某个单元弹性模量减小50%来模拟损伤，具体如图2所示。模态提取方法采用Lanczos法，采用稀疏矩阵方程求解器。Soild186单元每个单元有20个节点，位移模态的提取选择板中面上的节点。提取薄板前10阶模态振型和固有频率，按照式（2）～（5）构造平均柔度矩阵 Fave。 将平均柔度矩阵 Fave分别沿X方向和Y方向进行二次差分得到X方向柔度曲率矩阵 FCX和Y方向柔度曲率矩阵 FCY。

图2 单处损伤50%的四边固支板有限元模型Fig.2 Four-side fixed plate finite element model with one 50%-level-damaged element

2.1 多项式拟合曲线的选择

为了寻找合适的拟合曲线次数，分别选择边上（Y=2）和中间（Y=13）这两行数据进行拟合。结果如图3所示。对于边界和中部的柔度曲率k，通过8次多项式曲线拟合，曲线基本可以通过各个点，故可以选择8次多项式拟合。

图3 柔度曲率多项式曲线拟合Fig.3 Flexibility curvature polynomial curve fitting

为了检验8次多项式是否能够区分出损伤位置的点，选择第5行数据进行分析，结果如图4所示。从图4中可以看出，第9，10，11，12这4个点位于曲线外，而第10，11这2个点正好位于损伤位置，所以，8次多项式拟合能够区分出损伤位置的点。在实际结构损伤检测时，由于损伤位置未知，无法对多项式次数进行检验，但是，基于柔度曲率曲线拟合检测平板的损伤规律是一致的，可以直接采用仿真模拟的结果得到的8次多项式进行拟合，当然，最好是进行实际试验得到多项式次数的一般规律，然后应用于实际平板损伤检测。

图4 损伤处（Y=5）柔度曲率多项式曲线拟合Fig. 4 Flexibility curvature polynomial curve fitting at the damage position (Y=5)

2.2 多项式曲线拟合损伤识别结果

通过Matlab三维曲面绘图工具可以分别绘制柔度曲率及柔度曲率拟合差三维曲面图，分别如图5和图6所示（见下页）。

通过比较拟合前后的损伤指标，可以发现：图 5（a），5（b），5（c）中损伤位置存在微小突起，但是，损伤识别效果并不理想，难以进行损伤识别；图 6（a），6（b），6（c）中均存在一处明显突变，且突变位置均为预设的损伤单元位置。仿真模拟表明，基于模态曲率多项式曲线拟合的方法能够很好地进行损伤定位。

图5 单处损伤薄板结构柔度曲率Fig. 5 Flexibility curvature of the thin plate-type structure with one damaged element

图6 单处损伤薄板结构柔度曲率拟合差Fig. 6 Curve fitting difference of the flexibility curvature of the thin plate-type structure with one damaged element

3 结 论

以四边固定支承的薄板为研究对象，通过有限元软件ANSYS计算得到了单处损伤程度50%弹性薄板结构的前10阶模态振型和固有频率，并计算得到柔度曲率。基于柔度曲率拟合数据与原数据的差值构造新的损伤指标并绘制三维曲面图，研究了基于模态曲率多项式曲线拟合的方法对板类结构的损伤定位效果，结果表明：基于柔度曲率多项式曲线拟合的方法能够准确地进行薄板结构的损伤定位，相比仅采用模态曲率矩阵进行损伤识别的方法，该方法能够使损伤位置的突变程度更大，进而更加容易发现损伤区域。同时，相比柔度曲率差等需要结构损伤前后模态数据的方法，该方法只需损伤结构的模态数据，能够运用到那些难以获得无损结构模态数据的结构损伤识别中。

本文只对单个单元50%损伤进行了数值模拟，没有考虑小损伤、多损伤、实际信号中的噪音这些因素，所以，对于这些因素，仍需作进一步的研究。