数学思想在解三角形中的精彩绽放

蒋 敏 陈国林

(1.四川省南充龙门中学 637200；2.江西省赣南师范大学科技学院 341000)

一、分类讨论思想在解三角形中的应用

例1 已知锐角三角形的边长分别1,3,a，则a的取值范围是

( ).

(3)当a=3时，显然此时三角形为锐角三角形，所以选B.

评注由本题题意可知此三角形为锐角三角形，因此必须满足最大边对的角为锐角.因为a与3的大小不定，所以要分类讨论.

变式训练1 在△ABC中，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，试判断△ABC的形状.

二、转化与化归思想在解三角形中的应用

评注本题综合考查了正、余弦定理在转化三角形的边角过程中的作用以及三角变换公式.两种解法诠释了边化角与角化边的解题方法.边化角常常会结合三角恒等变换公式求解；角化边则需利用代数恒等变换求解.

三、函数与方程思想在解三角形中的应用

例3 已知腰长为a的等腰Rt△ABC中，当两个锐角顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动时(C与原点在AB的两侧)，求OC的最大值和△AOC面积的最大值.

评注有关最值、取值范围问题常需要运用函数思

想去解决，一般需要通过观察总结进而转化为具体函数的值域和最值问题.