导数在高中数学中的应用

郑柳蓉

(广东省河源市广州大学附属东江中学 517000)

导数概念是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带.导数为解决中学数学问题提供了全新的视野,也是研究曲线的斜率问题、函数的性质和函数的极值最值等问题提供了强有力的工具.为方便起见，约定本文涉及的都是可导函数.下面将对导数在切线问题、函数的单调性和求函数的极值最值问题的应用进行探讨.

我们知道，一阶导的代数意义就是函数的变化率.一阶导有明显的几何意义，就是曲线的斜率.而切线是导数的“几何形象”,也是函数单调性的“几何”解释，导数的概念运用了“数形结合，以直代曲”的思想方法，建立了代数与几何的桥梁，在高考数学中经常涉及，简而言之，导数起源于切线，曲切联系需熟练.

例1 (2016全国卷Ⅲ，16)已知fx为偶函数，当x≤0 时，f(x)=e-x-1-x，则曲线y=fx在点(1,2)处的切线方程是____.

事实上，只要会求导，就可以求出函数在切点处的切线问题，也可f(x)以解决比较简单的函数过某点的切线问题.

若函数f(x)在某区间内单调递增，则f′(x)≥0在该区间内恒成立； 在某区间内单调递减，则f′(x)≤0在该区间内恒成立.也就是说若导函数图象与x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方，则x0为原函数极值点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数f′(x)的正负，得出原函数f(x)的单调区间．归根结底，我们可以将单调性问题转化为不等式问题.

例2 (2017全国卷Ⅰ，21)已知函数fx=ae2x+a-2ex-x．

(1)讨论f(x)单调性；(2)略.

分析(1)讨论f(x)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按a≤0，a>0进行讨论，写出单调区间.

解(1)f(x)的定义域为(-,+)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(-,+)单调递减.

②若a>0，则由f′(x)=0得x=-lna.当x∈(-,-lna)时，f′(x)<0；当x∈(-lna,+)时，f′(x)>0，f(x)在(-,-lna)单调递减，在(-lna,+)单调递增.

接下来我们讨论极值问题.设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大(或小)值，x0为极大(或极小)值点.即极值点一定在曲线的波峰或者波谷处.

由极值的定义，可以得到求极值的一般步骤：第一步：求导数f′(x)；第二步：解方程f′(x)=0；第三步：考察在每个根x0附近，从左到右，导数f′(x)的符号如何变化，若f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值；即极值点的两导数值一定正负出现.若f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值，x0不是极值点.

例3 (2017全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e-2

分析结合(1)的结论构造函数φx=2x-2-lnx，结合导函数的单调性和原函数即可证得.

如果会求函数f(x)在闭区间[a,b]上的极值，那么求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值就水到渠成了．只要比较f(x)的极值与区间端点函数值f(a)、f(b)的大小就可以了，最大的就是最大值，最小的为最小值.特别地，若函数f(x)没有极值点，则函数f(x)是单调函数，区间端点函数值f(a)、f(b)最大的就是最大值，最小的为最小值.若函数f(x)只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点.

例4 (2017北京卷，20)已知函数f(x)=excosx-x.

解(3)因为f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.设h(x)=ex(cosx-sinx)-1，则h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.

在解决导数的应用问题的时，一定要注意寻找关键的等价变形，充分应用数形结合思想．导数作为初等数学与高等数学的重要衔接点之一，不仅有着广泛的应用，也为学生进入大学学习高等数学奠定基础，这必定使导数的应用成为热点也是亮点．