挖掘隐含条件 巧解三角问题

张艺琼

(河北省石家庄二中实验学校 050000)

在解三角问题时，应善于挖掘题目中的隐含条件，采用联想、构建等诸多方式，将隐蔽问题转化为熟知而明朗的问题，从而开辟出解题通道，获得新颖别致而富于创造性的巧妙解法.现将学习中的体会整理如下.

一、挖掘出锐角三角形中，两角之和的范围

例1 在锐角△ABC中，比较sinA+sinB+sinC与cosA+cosB+cosC的大小.

同理有sinB>cosC,sinC>cosA,三式相加，得

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

二、转化为三角形中，边角的大小关系

例2 在△ABC中，设条件p:sinA>sinB,条件q:A>B,判断p是q的什么条件.

三、构造出直角三角形中的边角关系

例3 已知锐角α、β满足条件7sinα=5sinβ,7cosα+5cosβ=7,求α+2β的值.

解把7sinα、5sinβ与7cosα、5cosβ视为直角三角形中的两个直角三角形的直角边，如图1.

构造锐角△ABC，CD是高，其中AC=7,BC=5,∠A=α,∠B=β.由直角三角形中的边角关系知

7sinα=CD=5sinβ，7sinα=AD，5sinβ=DB.

AB=AD+DB=7sinα+5sinβ=7，可知AB=AC，故∠ACB=∠B=β.由三角形内角和知A+B+C=π,即α+β+β=π,从而α+2β=π.

四、利用|sinx|≤1,|cos|x≤1.

例4 已知α、β均为锐角，且sin(α+β)=2sinα，求证α<β.

证明由α、β是锐角，知0

五、呈现辅助角公式

解将原式去分母，整理成2sinx-ycosx=y+1.

根据辅助角公式可得

六、联想正弦、余弦的平方和、平方差公式

例6 求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解记a=cos271°+cos71°cos49°+cos249°,

构造对偶式b=sin271°+sin71°sin49°+sin249°.

则a+b=1+cos(71°-49°)+1=2+cos22°①,

a-b=cos142°+cos(71°+49°)+cos98°

七、应用隐含公式sec2x-tan2x=1

解f(-x)=ln(secx+tanx)，与f(x)的解析式对照，发现隐含公式，f(-x)+f(x)=ln(sec2x-tan2x)=ln1=0,从而f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.

八、引入相应函数

九、采用夹逼法

分析将已知式去分母，并化为关于α+β、α-β的三角式.

证明已知式去分母，可得到sin2α+sin2β=4sinαsinβ.

右边积化和差，可写成

sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)+(α-β)]=-2[cos(α+β)-cos(α-β)],

化为sin(α+β)cos(α-β)=cos(α-β)-cos(α+β),

另一方面，