钢筋混凝土裂缝反算配筋计算方法及工程应用

牛永贤,许兵华,刘影震,高 焱,朱永全,张建风

(1.石家庄市政设计研究院有限责任公司,石家庄 050043； 2.江苏省淮阴工学院交通运输与安全保障重点实验室,江苏淮安 223003； 3.淮阴工学院,江苏淮安 223003； 4.石家庄铁道大学土木工程学院,石家庄 050043； 5.中交远洲交通科技集团有限公司,石家庄 050051)

钢筋混凝土偏心受压、轴心受拉及偏心受拉构件是工程中应用较多的基本构件，其配筋的计算工作是工程设计中一项重要的内容[1-3]。北京、上海、天津和深圳等地地铁、隧道均出现了不同程度的衬砌结构渗漏、裂缝及掉块等结构病害[4-6]。随着《混凝土结构设计规范》(GB50010—2010)[7](以下简称《规范》)的编制与发布，隧道专业开展了由安全系数法向极限状态法的转轨工作。《规范》中钢筋混凝土受弯、轴心受拉及偏心受拉构件配筋计算公式较为繁琐，迭代步骤较多，在进行大规模混凝土结构的配筋计算时，工作量大且容易出现错误。

对于解决上述问题，许多国内外学者的研究结果值得借鉴。文献[8]深入探讨了梁结构的应力分布规律，确定了梁结构的薄弱环节，进而提出了梁结构配筋的优化设计方案。文献[9]编写了三维弹性有限元分析程序，该程序可以用于钢筋混凝土结构的配筋计算，并举例验证了其合理性。文献[10]建立了有限元分析模型，分析了澳大利亚悉尼市一座失稳坍塌的混凝土薄壳结构，得到了混凝土薄壳结构稳定性与配筋量之间的关系。周东华等[11]采用无量图表法提出了混凝土配筋计算的一种新方法，该方法扩展了《混凝土结构设计规范》(GB50010—2002)[12]中混凝土构件应力—应变应用范围，并给出了混凝土梁结构配筋计算的方法。黄靓等[13]采用修正直线法和简化ξ法提出了一种对称配筋钢筋混凝土小偏心受压构件的简化计算方法，该方法简化了配筋的计算公式。李汝庚[14]采用牛顿—秦九韶法以及周翠玲[15]采用弦截法用于对称配筋小偏心受压构件配筋的计算，这两种方法提高了计算精度，但是在计算ξ时需要进行多次的迭代计算。田广宇等[16]采用轴力分配法和叠加法对钢筋混凝土结构的配筋计算公式进行简化，其结果在大偏心时比较精确，但在小偏心时误差较大。

以上研究为钢筋混凝土结构配筋计算做了大量有意义的工作，但其在进行钢筋混凝土结构配筋计算时，是通过配筋面积计算构件的最大裂缝宽度，然后与规范要求的限值进行对比，这往往需要多次迭代计算才能求得最终的配筋量。本文在钢筋混凝土受弯、轴心受拉及偏心受拉构件裂缝宽度计算公式的基础上，综合考虑多种因素影响，根据规范要求的裂缝宽度限值分别逆向推导出了钢筋混凝土受弯、轴心受拉及偏心受拉构件的配筋计算公式，简化了配筋的计算过程。以石家庄青城街雨污水管道穿越G1811隧道工程Ⅴ级围岩复合式衬砌断面偏心受压构件为例，将采用裂缝反算配筋计算方法得到的计算结果与现有规范配筋计算方法得到的计算结果相比较。

1 裂缝反算配筋计算方法

1.1 偏心受压构件裂缝反算配筋计算方法

依据《规范》[7]，对于钢筋混凝土偏心受压构件，按荷载标准组合或永久组合并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度可按下列公式计算

(1)

(2)

(3)

隧道衬砌结构多为偏心受压构件，其σs可按下式计算[17]

(4)

在偏心受压构件裂缝宽度计算公式的基础上，综合考虑多种因素影响进行了逆向推导，得到了通过裂缝宽度反算配筋的计算公式，具体推导思路如下。

进行裂缝反算配筋时，要考虑与配筋As相关且有可能取得常数的变量，即ψ与ρte的取值。

假设1：ρte≥0.01。此时ρte为与As有关的变量，将公式(3)、公式(4)代入公式(2)，消掉As得

(5)

当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0[9]；将ψ代入式(1)，整理得

As={1.9csαcrψNq(e-z)+

[(1.9csαcrψNq(e-z))2+

0.32EszωmaxAtedeqαcrψNq(e-z)]1/2}/2Eszωmax

(6)

将As代入式(3)，如果ρte<0.01，说明假设1不成立，则ρte=0.01，式(2)可改为

(7)

假设2：0.2≤ψ≤1。此时ψ为与As有关的变量，将(7)式及ρte=0.01代入式(1)，求得

(8)

将式(4)代入式(8)，整理可求得

(9)

将As代入式(4)，求得σs，再将σs代入式(7)求得ψ，如果ψ<0.2或ψ>1，则假设2不成立，当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0[9]；此时ρte、ψ均为常数，将ρte、ψ及式(4)代入式(1)整理可得

(10)

式中，wmax为最大裂缝宽度，mm；αcr为构件受力特征系数，偏心受压构件取1.9；ψ为裂缝纵向受拉钢筋应变不均匀系数：当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0[9]；对直接承受重复荷载的构件，取ψ=1.0。σs为按荷载永久组合计算的钢筋混凝土构件纵向受拉钢筋应力，MPa；Es为钢筋弹性模量，MPa；cs为最外层纵向受拉钢筋外边缘到受拉区底边的距离，mm：当cs<20时，取cs=20；当cs>30时，取cs=30[9]；ρte为按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，在最大裂缝宽度计算中，当ρte<0.01时，取ρte=0.01；Ate为有效受拉混凝土截面面积，mm2，对轴心受拉构件，取构件截面面积；对受弯、偏心受压和偏心受拉构件，取Ate=0.5bh+(bf-b)hf，此处，bf、hf为受拉翼宽度、高度；As为受拉区纵向钢筋截面面积，mm2；deq为受拉区纵向钢筋的等效直径，mm；Nq为按荷载永久组合计算的轴向力，kN；e为轴向拉力作用点至纵向受拉钢筋合力点的距离，mm；z为纵向受拉钢筋合力点至截面受压区合力点的距离，mm，且不大于0.87h0。

偏心受压构件裂缝反算配筋流程如图1所示。

图1 偏心受压构件裂缝反算配筋流程

1.2 轴心受拉构件裂缝反算配筋计算方法

轴心受拉构件σs可按下式计算[18]

σs=Nq/As

(11)

在轴心受拉构件裂缝宽度计算公式的基础上，综合考虑多种因素影响进行了逆向推导，得到了通过裂缝宽度反算配筋的计算公式，具体推导思路如下。

进行裂缝反算配筋时，要考虑与配筋As相关且有可能取得常数的变量，即ψ与ρte的取值。

假设1：ρte≥0.01。此时ρte为与As有关的变量，将公式(3)、公式(11)代入公式(2)，消掉As得

(12)

当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0。将ψ代入公式(1)，整理得

As=[1.9csαcrψNq+

2Esωmax

(13)

将As代入公式(3)，如果ρte<0.01，说明假设1不成立，则ρte=0.01，公式(2)可改为

(14)

假设2：0.2≤ψ≤1。此时ψ为与As有关的变量，将公式(14)及ρte=0.01代入公式(1)，求得

(15)

将公式(11)代入公式(15)，整理可求得

(16)

将As代入公式(11)，求得σs，再将σs代入公式(14)求得ψ。如果ψ<0.2或ψ>1，则假设2不成立，当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0[7]。此时ρte、ψ均为常数，将ρte、ψ及公式(11)代入公式(1)整理可得

(17)

轴心受拉构件裂缝反算配筋流程如图2所示。

图2 轴心受拉构件裂缝反算配筋流程

1.3 偏心受拉构件裂缝反算配筋计算方法

偏心受拉构件σs可按下式计算[19]

(18)

在偏心受拉构件裂缝宽度计算公式的基础上，综合考虑多种因素影响进行了逆向推导，得到了通过裂缝宽度反算配筋的计算公式，具体推导思路如下。

进行裂缝反算配筋时，要考虑与配筋As相关且有可能取得常数的变量，即ψ与ρte的取值。

假设1：ρte≥0.01。此时ρte为与As有关的变量，将公式(3)、公式(18)代入公式(2)，消掉As得

(19)

当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0。将ψ代入公式(1)，整理得

As={1.9csαcrψNqe′+[(1.9csαcrψNqe′)2+

(20)

将As代入公式(3)，如果ρte<0.01，说明假设1不成立，则ρte=0.01，公式(2)可改为

(21)

假设2：0.2≤ψ≤1。此时ψ为与As有关的变量，将公式(21)及ρte=0.01代入公式(1)，求得

(22)

将公式(18)代入公式(22)，整理可求得。

(23)

将As代入公式(18)，求得σs，再将σs代入公式(21)求得ψ，如果ψ<0.2或ψ>1，则假设2不成立，当ψ<0.2时，取ψ=0.2，当ψ>1.0时，取ψ=1.0[7]。此时ρte、ψ均为常数，将ρte、ψ及公式(18)代入公式(1)整理可得

(24)

偏心受拉构件裂缝反算配筋流程如图3所示。

图3 偏心受拉构件裂缝反算配筋流程

2 工程应用

以石家庄青城街雨污水管道穿越G1811隧道工程Ⅴ级围岩复合式衬砌断面为例，其中隧道衬砌结构以偏心受压为主，如图4所示，按照《铁路隧道极限状态设计暂行规范》(Q/CR 9129—2015)[20]对二次衬砌进行试设计，围岩参数按表1选取，材料参数按表2选取。

图4 计算模型衬砌断面(单位：cm)

围岩重度γ/(kN/m3)弹性反力系数K/(MPa/m)计算摩擦角φc/(°)隧道埋深H/m18.51504532.4

表2 C35钢筋混凝土计算参数

通过计算得到最小控制截面承载力配筋为1 375 mm2，标准组合下轴力为1 409.26 kN，弯矩为348.46 kN·m。依据规范钢筋混凝土衬砌结构构件最大裂缝宽度不应超过0.2 mm，其最小控制截面的最大裂缝宽度验算如表3所示。

表3 最大裂缝宽度计算

由表3可以看出，利用原方法计算最大裂缝宽度时，共需调试3次，才能得到满足最大裂缝宽度限值的配筋。而采用本文推导的公式计算如下

Ate=0.5bh=0.5×1 000×500=250 000 mm2

As={1.9csαcrψNq(e-z)+

[(1.9csαcrψNq(e-z))2+

0.32EszωmaxAtedeqαcrψNq(e-z)]1/2}/2Eszωmax=

1 905.12mm2

由于ρte<0.01，采用下式重新计算As

由于0.2≤ψ≤1，所以此次所求As即为最大裂缝宽度0.2 mm下对应的配筋面积，此面积对应的配筋刚好为7φ20 mm。

3 结论

(1)本文在钢筋混凝土偏心受压、轴心受拉及偏心受拉构件裂缝宽度计算公式的基础上，综合考虑多种因素影响，分别逆向推导了其通过裂缝宽度反算配筋的计算公式，该法计算过程简单，简化了配筋的计算过程，结果直观且一目了然。

(2)以石家庄青城街雨污水管道穿越G1811隧道工程Ⅴ级围岩复合式衬砌断面正反算对比分析知，通过正算总共调试3次才得到满足规范限值下的配筋，而通过采用本文中推导的公式进行反算只需要1次计算，且计算过程简单。

(3)钢筋混凝土裂缝反算配筋计算方法简单实用，目前已成功应用于隧道专业安全系数法向极限状态法转轨工作中，提高了设计效率，为钢筋混凝土结构的配筋计算提供了参考和借鉴。