如何在数学活动课中培养学生的思维能力——以“独立钻石棋”活动课为例

中国教育科学研究院 李清霞

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力。其中“综合与实践”主要培养学生综合运用有关知识与方法解决问题的能力，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。而基于思维导向的数学活动课相比知识的传授，教师更为关注对学生思维的启发，不再是简单的以讲授—复述为主的教学方式，而是激发学生思考，指导学生思维发展的活动。课堂活动的特点为“内容问题化、问题思维化、思维活动化”，其基本含义就是以关键问题串为主导、以深度思维为核心、以任务型思维为主线，[1]可以说在数学活动课中发展学生的思维能力不失为一种新的课型探索。

本文以“独立钻石棋”活动课为例。独立钻石棋是一种自我挑战的单人棋游戏，玩法是：棋子在棋盘的33个孔中，只能跳过相邻的棋子到空位上，并把被跳过的棋子吃掉；棋子可以沿棋盘格线横跳、纵跳，但不能斜跳；终局时行棋步数越少和所剩棋子越少越好；最后，只剩下中间一颗形成独立钻石。其目的是探析数学活动课中如何培养学生的思维能力。结合上述要点，在活动设计上以发展学生深度思维为主题，制定教学目标，安排一系列探究任务为主体活动，并以能刺激学生思考的关键问题贯穿始终。

图1 独立钻石棋

一、活动目标：明确思维策略

由于活动课内在的思维训练功能往往较为隐蔽，因此，教学目标容易步入一个误区，即把关注点和侧重点放在玩法上。而以发展学生思维能力为目标导向的数学活动课，则需要对学生思维方式、思维技能等方面进行训练，提升思维素养，实现学生思维结构的内源性重构。

活动课“独立钻石棋”如果只是根据规则和要求盲目行棋，这只是停留在游戏层面。如果想借此发展学生思维能力，还需梳理其在行棋中的思维过程，一般来说经历三个阶段：第一阶段，学生多是直觉行棋，缺少对棋局的推理和统筹；第二阶段，随着尝试次数增多，学生会逐步悟解、发现行棋诀窍，并能根据当前棋局对后续步骤做出预判和计算；第三阶段，学生能建立全局统筹的意识。本节活动课处于第二阶段，将连跳策略的认识和运用作为训练目标。相比其他跳法，连跳走步少，吃子多，也就是说教师将优化思维定为教学目标，把学生的思维焦点转到寻找行动最有效的序列上，也就是对深度思维的训练。

需要强调的是，连跳策略的生成也是一个思维训练的环节。从思维发展的路径上来看，认知冲突是激发学生思维活动的前提条件，因此如果教师直接告知用连跳方法，现有的情境与学生原有的知识结构之间没有产生冲突或矛盾，则不能激发学生的思考和分析。而在本节课初始环节，教师设置了同一棋局的不同走法，学生行棋中分别用到5步和2步，对于步数的比较可以引发学生对行棋方法的思考，从而总结出连跳的优势和价值，即可以用更少的步数形成“独立钻石”。

二、活动环节：经历思维过程

数学活动课设计中所考虑的每个环节都必须遵从认知操作序列性规律，做到教学过程遵从认知过程，认知过程跟进教学过程。[2]那么活动安排不能仅仅关注某一个点或某一个环节，而是通过系列活动的程序性和螺旋性，以及问题解决过程的认知序列性与反复性，让学生的思维发展不断得到巩固和强化。

本课例以“连跳”策略作为思维训练的切入点，以问题式棋局作为练习内容，设计了一系列探究任务：6颗布局（初始连跳）—8颗布局（运用连跳）—10颗布局（创造连跳），以此为主线引导学生历经生成问题—分析问题—解决问题的思维过程。

图2 主体探究活动系列环节

从思维刺激的程度来说，学生所处的思维刺激环境越丰富，参与的活动越多样，任务需要思维参与的越深入，就越利于学生思维能力的发展，遵循这一规律，基于思维导向的活动课需安排有梯度的系列活动。本课例中教师组织了“6颗布局—8颗布局—10颗布局”的活动，在6颗布局的棋局中，局面比较简单，学生在观察之后，很快就会发现解法；在8颗布局的棋局中，局面难度有所提升，学生需要仔细观察，反复尝试与分析之后，才能正确找到连跳之路；在10颗布局的棋局中，多颗棋子之间相连，这不仅不能直接进行连跳，还阻碍连跳，学生需要整体观察、谋划，先吃掉一些棋子来创设出能运用连跳的棋局，再用连跳策略形成最后的独立钻石局面。可以看出，这三个活动训练难度层层递进，一方面棋子颗数由少到多，另一方面棋局的复杂程度由易到难。学生正是在面临思维难度的梯级挑战中，一步步探究、运用连跳策略，练习、巩固优化思维的方式。

从思维过程的路径来说，在初识阶段：6颗布局，利用简单布局让学生练习尝试，并对不同行棋策略进行比较，进而发现连跳的优势；在运用阶段：8颗布局，棋局增加了难度，而且教师将第一布局和第二布局同时呈现到白板上，引导学生观察、比较，最后发现连跳布局的特征：一棋一空，并在这里引导学生第一次梳理运用连跳的思路：先观察，再思考，寻找特征，并尝试连跳；在创造阶段：10颗布局，棋局更加复杂，想运用连跳的障碍重重，教师引导学生创造出能连跳的棋局，并且第二次引导学生梳理运用连跳思路，学生此时已能用自己的语言清晰地表达出正确的想法。这一系列活动引导学生由浅入深地进行分析、综合，在操作、实践中经历了“思维困顿—探究发现—归纳总结—运用迁移”的思维过程，有利于学生良好认知结构的形成。

三、问题引导：发展高阶思维

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的。”因此，活动课中如果教师多采用讲解的方式，学生难免会形成被动的思维习惯；如果教师多采用对话、问题启发的教学方式，则会逐步引发学生进行不同的思维活动。

布鲁姆 (B.S. Bloom)从认知目标分类角度入手，依据思维方式的复杂程度，将思维分成从低层次到高层次、从简单到复杂的六个思维层次，即记忆、理解、应用、分析、评价、创造，并将记忆、理解和应用定义为低阶思维，将分析、评价和创造定义为高阶思维。有学者根据这个认知水平层次对课堂提问进行了分类，其中要求学生记忆、理解、运用的问题被定义为低水平提问，要求学生进行分析、综合、评价性的问题被定义为高水平提问。[3]研究表明，教师的高水平提问更能激发学生的深度思考，促进思维发展。

课例中，教师紧紧围绕教学目标，注重用高水平提问引导学生思考连跳策略的优势、特征及运用等问题（见表1），从形式上看，这些问题具有开放性，能让学生从不同角度思考，学生可以提供不同的见解和方法；从内容上看，这些问题具有思维性，学生需要在头脑中进行比较、分析、评价、概括等思维活动，然后借助语言把操作中获得的感觉、知觉、表象加以概括，形成概念、判断，进行推理、归纳、创新。正是这一系列问题引导着学生由已知到未知，由感性到理性，在多样的思维活动中发展高阶思维。

表1 不同活动阶段的教师提问、学生思维活动

基于思维导向的数学活动课需要遵循知识或思维的逻辑顺序、学生的认知规律而构建起外显的活动流程，如果活动设计只顾及外在环节，而缺失高水平问题引导，那么教学易走入难度低、浅显的境地；如果活动设计只顾及问题引导，而缺失外显系列活动，那么教学易走入无秩序、混沌的状态，因此，有效的活动设计要兼顾活动环节的设置与教师高水平提问的创设。正是经过立体多向的整合，活动横向的梯级与纵向的深度综合交叉才能构建起思维能力提升的网络体系。

总之，在数学活动课中培养学生的思维能力，可以形成学科课程和活动课程互补的课程结构，在丰富的教学活动中帮助学生认识数学、理解数学，并学会综合运用所学知识来解决实际问题，进一步体会数学与现实生活的联系，获得更广泛的数学活动经验，从而培养学生的思维能力，提升思维素养。