一道质量抽查题引发的思考

陈胜

数学来源于生活，但不等于生活问题就是数学问题，也不等于数学问题都是生活问题。

一、原题

小雪在教室的座位用数对表示为（3，4），小米坐在小雪的前面，小米的位置用数对表示为（ ），小亮坐在小米的左边，小亮的位置用数对表示为（ ）。

二、研读教材

深入研究教材，教材是通过静态的形式呈现信息，而学生需要经历知识的发生、发展的动态过程才能更好地形成数学素养，因此教师必须深入研读教材，优化课堂设计，使学生真正触摸数学的思想与本质。为了更好地渗透和体会数形结合的思想，感受数学建模的过程，通过对“小雪位置”的追踪，让学生体会数形结合与坐标思想，感悟数对与物体位置的一一对应关系。

接下来第二个问题，小亮坐在小米的左边，小亮的位置用数对表示为（ ）。是（2，3）还是（4，3）？（图3）这个问题引发了“生活经验”与“数学规定”的不一致，从而产生矛盾。

在反复研读教材的过程中，充分认识到用数对确定位置并不是单纯生活意义上的确定位置，而是认识坐标的雏形。在教学中，我们引导学生用坐标的方法描述位置，让学生亲身经历数对写法的过程，理解数对所蕴含的意义。

三、题目引发思考

1.用“数对确定位置”的根本是数与点的一一对应

学习“用数对确定位置”不能仅仅让学生会用数对表示某个具体位置。更重要的是体会这种“表示”的价值：一个数对唯一地对应平面上的一个点，感知平面直角坐标系的表示方法以及思想。无论是一维空间、二维空间还是三维空间，数与点之间的一一对应性是用数对确定位置的本质。

2.明确坐标系的三要素

虽然小学阶段所学的“用数对确定位置”是中学坐标系的雏形，但也必须具备坐标系的三个关键要素：原点、方向、单位。（图4）

在唯一确定的坐标系中，一个有序数对与平面上的一个点就建立了一一对应的关系。坐标系可以是一维空间的数轴，也可以是二维空间的直角坐标系或三维空间直角坐标系，其数学结构完全一样，只不过维数不同而已。比如教室的座位图与坐标系是一致的，小雪的位置在平面图中是第3列第4行，这样就建立起空间中的一个点与一个有序数对一一对应。

3.统一“规则”与“数学规定”

根据题目的描述，小雪的位置是固定的（3，4），之所以有不同的表示方法是因为没有统一表示方法的“规则”，所以必须有“数学规定”，否则不同的人有不同的方法，表示方法不统一，就不能相互交流和沟通。让学生体会到“数学规定”虽然是人为规定，但有它的必要性和合理性。如果知识背后没有方法，知识只能是一种沉重的负担；如果方法背后没有思想，方法只不过是一种工具。保证数与点能够建立一一对应关系的前提是建立唯一的坐标系，即参照点（坐标原点）唯一确定、方向确定（规定“從左向右、从下向上”）、单位唯一确定。

4.“数学规定”与“生活经验”的矛盾

“数学规定”与日常“生活经验”不一致时出现的相互冲突。

在现实空间中用一对数确定位置，没必要一定遵从“从左向右、从下向上”原则，而是遵循“方便性”原则。只要“在场的人”都明白这个规定，一旦“规定”确定下来，“数”与“位置”就建立了一一对应关系。在场的人就便于交流和研讨。相反，如果还是遵循“从左向右、从下向上”这一规定，就会带来很多麻烦：因为在现实空间中，左右、上下都是相对的，参照点不同，左右、上下确定的对象是不同的，在交流讨论时就一定要事先强调好以谁为参照点来确定“左右”。而在平面图上用数对确定位置都遵从相同约定“从左向右、从下向上”开始数（规定了数字排列的顺序），是从观察者的角度做了这个规定，即不再具有相对性和歧义，从而保证一个数对与一个点之间一一对应关系的建立。所以说，“数学规定”虽然是人为的，但也是很有必要的。

“用数对确定位置”正是基于对数学课程内容的思考与补充，让小学生初步感知坐标几何的思想与价值，是教材中安排这一内容的意图所在。在教学过程中，有两大主线贯穿始终，一是图例的抽象和演变，二是确定位置的方法。两大主线的层层递进与发展，充分展现了数对的数学知识和思想的产生与发展过程。在座位图上用数对确定位置，不仅关注了数对方法的运用，还关注了在图上用数对确定位置的背景，更重要的是引导学生思考图上用数对确定位置的核心所在“原点”，从而引导学生逼近坐标的最核心知识，真正在学生心中建立起坐标的雏形，感受到坐标思想的存在。

编辑 杜元元