集合在高考试题中的考点解析

吕晓蝶

摘 要 集合是高中数学的基础知识，也是高考中的必考点。对于集合的学习，首先要掌握集合的含义与表示；其次要掌握理解集合间的基本关系；最后要掌握集合的基本运算并能使用韦恩图表达集合间的关系及运算。

关键词 集合 交与并 集合运算

中图分类号：G633 文献标识码：A

1考点一：集合的含义与表示

考点解析：（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系；（2）能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。

典型例题解析：

例1：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，，；若，，则集合中元素的个数是？

解析：首先分析集合中元素与集合P、Q中元素之间的关系，那么可知存在的关系；其次再分别确定a和b的值以及的值；最后计算集合中元素的个数。

解：当时，无论的取值如何，均为0；

当时， = ；

当时， = ；

当时， = ；

当时， = ；

故，因此集合中元素的个数为3。

例2：已知集合，，若，则实数的值为多少？

解析：根据集合交的定义，由反推确定集合中的元素，再求解参数。

解：因为，所以中元素必有一个为1，且中元素必不为2，因此讨论以下两种情况：

若，则集合，满足题设；

若，求得参数为虚数，不满足题设；

故所求参数的值为1。

小结：与集合有关的问题的解题技巧，首先要确定集合的代表元素；其次看代表元素满足的条件，最后根据条件列式求解参数或者确定集合个数，特别需要注意的是检验集合中元素的互异性。

2考点二：集合间的基本关系

考点解析：（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体的情境中，了解全集与空集的含义。

典型例题解析：

例3：已知，，若则实数的取值范围为多少？

解析：首先求出集合，再由集合间的关系，列出不等式，最后求解实数的取值范围。

解：由题意得到

又由于，并且，显然小于0。

此时，，要使得，则有，即

故实数的取值范围为。

例4：集合共有多少个真子集？

解析：此题需要准确理解何为集合的真子集，还要注意子集与真子集的区别。

并且有性质，若集合中有个元素，则该集合的子集个数为。

解：显然原集合中的元素个数为3个，

则根据性质，子集的个数为，

除掉集合本身，则真子集个数为。

故集合共有个真子集。

小结：（1）判定集合间关系的方法有三种，其一，一一列举观察；其二，集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；其三，数形结合法，利用数轴或者韦恩图求解。（2）子集与真子集的关系，集合A的子集不一定是其真子集；但集合的真子集一定是其子集。

3考点三：集合的基本运算

考点解析：（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的交集和并集；（2）理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；（3）能使用韦恩图表达集合间的关系及运算。

典型例题解析：

例5：已知集合，全集，则为多少？

解析：首先要根据不等式确定集合；再根据定义域的限定确定集合，最后进行集合间的基本运算。

解：由，

即集合，

由得，解得或，

所以集合，

故

故。

例6：已知集合，若，则的值为多少？

解析：此题考查集合间的基本运算，要根据集合间的并运算，分别确定集合A、B中的元素；再求解参数。

解：由和

得到，可得

故的值为。

小结：集合的交、并、补运算需要注意以下三方面；一是确定集合中元素的形式，即分辨清是数集、点集还是图形集等；二是对集合的化简，要先对集合中的性质进行化简，再进行相关运算；三是要善于借助数轴和韦恩图等工具，运用数形结合的方法进行求解。

参考文献

[1] 陈东.集合高考题分类例析[J].数学通讯，2016（Z4）：77-80.

[2] 陆维香.高考中集合运算的基本策略[J].中学生百科，2013（23）：39-40.

[3] 王远征.集合與集合运算考点精析[J].广东教育（高中版），2007（09）：50-52.