数学教学中的分类问题

方宜

摘 要 充分条件与必要条件可以同时满足，这样的话，对命题分类时，就会出现问题，函数的奇偶性也有同样的问题。

关键词 分类 充要条件 奇偶性 教学

中图分类号：G718 文獻标识码：A

学生在学习充要条件与函数的奇偶性时，常常会遇到与下面两个例题相似的练习，学生会因为使用的定义不同，得到不同的结论而困惑不解。

例题1：指出下列各组命题中，条件p是结论q的什么条件。

p：a=b，q：（ab）2=0.

答案1：条件p是结论q的充分条件（根据充分条件的定义）。

答案2：条件p是结论q的必要条件（根据必要条件的定义）。

答案3：条件p是结论q的充要条件（根据充要条件的定义）。

例题2：判断下列函数的奇偶性：

f（x）=0；

与上面题目类似，此题也有三个答案：

答案1：奇函数（根据奇函数的定义）。

答案2：偶函数（根据偶函数的定义）。

答案3：既是奇函数也是偶函数（根据奇函数和偶函数的定义）。

以上两个例题的三个答案都没有错，但这两个例题并不是多选题，问题究竟出在什么地方呢？我认为，出现这样问题的根本原因是：题目的分类属性与定义的开放属性之间产生了矛盾。这样的题目本质上是一个分类的问题。在数学中，分类必须满足纯粹性和完备性。纯粹性就是不同类的对象之间必须互相排斥，完备性就是任何对象都必须属于某一类。用数学语言描述就是：任给元素a，a属于且只属于某一类。

显然，充分条件与必要条件，充分条件与充要条件，必要条件与充要条件等，并不排斥。即充分条件与必要条件，充分条件与充要条件，必要条件与充要条件等，可以同时满足。具体的情况就是：一个命题可以既是“充分条件”，也是“必要条件”。实际上，两个命题之间的关系应该分为四类：（1）充要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）既不充分也不必要条件；而有关定义并没有满足分类的要求。同样的，函数的奇偶性也应该分为四类：（1）非偶奇函数；（2）非奇偶函数；（3）奇偶函数；（4）非奇非偶函数；而相关定义也不满足分类的要求。因此，要避免这样的问题出现，我认为第一种解决方案是修改题目，明确分类要求。

例题1：指出下列各组命题中，条件p是结论q的什么条件。可以改为：

例题1：指出下列各组命题中，条件p是结论q的（充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）中的哪一种条件。

例题2：判断下列函数的奇偶性：可以改为：

例题2：判断下列函数是（非偶奇函数、非奇偶函数、奇偶函数、非奇非偶函数）中的哪一种函数：

除了修改题目，以避免题目是分类的问题，而定义不满足分类要求的矛盾外。我认为第二种解决方案是修改定义。使定义满足分类要求，彻底解决此类问题。

两个命题的关系的定义具体修改地方如下：

“充分条件”的定义应该改成：如果pq且qp，则p是q的充分条件。

“必要条件”的定义应该改成：如果pq且qp，则p是q的必要条件。

“充分条件”的定义不变，仍然是：如果pq且qp，则p是q的充要条件。

最后还要加上一个定义：如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。

这样修改充要条件的相关定义后，两个命题之间的关系分类为：（1）充要条件；（2）充分条件；（3）必要条件；（4）既不充分也不必要条件。

这时，充分条件与必要条件，充分条件与充要条件，必要条件与充要条件等，再也不会同时满足，此类问题不再出现。学生再也不需要做这类题目时，要揣测老师出题时的想法，揣测老师是希望他使用哪个定义来判断。学生只需要根据题目字面的意思独立思考就可以了。

函数的奇偶性的定义修改如下：

“奇函数”的定义应该改成：如果f（x）= f（x），并且定义域内存在一点x0，使得f（x0）≠f（x0），则f（x）为奇函数。

“偶函数”的定义应该改成：如果f（x）=f（x），并且定义域内存在一点x0，使得f（x0）≠f（x0），则f（x）为偶函数。

增加“奇偶函数”的定义：如果f（x）=f（x），并且f（x）=f（x），则f（x）为奇偶函数。

增加“非奇非偶函数”的定义：如果定义域内存在x1和x2，使得f（x1）≠f（x1），并且f（x2）≠f（x2），则f（x）为非奇非偶函数。

同样的，修改函数的奇偶性的相关定义后，函数的奇偶性分类为：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）奇偶函数；（4）非奇非偶函数。

两种解决方案各有优缺点，修改题目，只需要出题的老师注意此类问题的分类属性，牵涉面不广，可操作性强。修改定义虽然可以彻底解决此类问题，但涉及到学术界的看法，牵涉面较广。也许还有更好的解决方案，希望各位同仁不吝赐教。

参考文献

[1] 张景斌.中等职业教育课程改革国家规划新教材[M].语文出版社，2009.

[2] 李全广，李尚志.中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》[M].高等教育出版社，2012.