考虑土拱效应的黏性土地震主动土压力

黄 睿 任 城 汤金焕

(1.绍兴文理学院 土木工程学院，浙江 绍兴312000；2.绍兴文理学院 岩石力学与地质灾害实验中心，浙江 绍兴312000)

我国是个地震多发国家，每年都有大量的建构筑物遭受地震的破坏.地震作用下建筑结构的力学特性一直都是国内外学者关注的重点，其中，挡土墙后的地震土压力是支挡结构抗震设计的主要计算内容.

地震动土压力的理论研究方法主要有三类，第一类是Okabe和Mononobe提出的拟静力法[1]，即在库伦土压力理论的基础上，将地震作用简化为惯性力系施加于墙后的土体上，以静力学的方法近似处理动力问题，这是目前国内外普遍采用的计算方法，此后Wood等学者[2-7]在此理论的基础上，对地震土压力的分布和合力点位置进行了深入研究；第二类是剑桥大学的Steedman和Zeng[8]提出的拟动力法，考虑地震加速度随墙高和时间的变化，与实际更贴近，但是计算过程涉及较多未知参数，实际工程应用受限；第三类则是数值方法，如有限元法、边界元法等，可以精确分析土与结构的相互作用，但是建模较复杂.目前大部分已有的地震动土压力研究模型都引入了较多假设条件，与实际情况存在一定差异，诸如挡土墙后普遍存在的土拱效应就并未考虑在内，但是很多理论和试验研究[9-11]都证明土拱效应对挡土墙后的土压力有较大影响.卢坤林等[12]考虑小主应力土拱效应对挡土墙侧土压力系数的影响并将其用于地震土压力的分析，但是只考虑了无黏性土的情况；涂兵雄等[13]将土拱效应的理论扩展到黏性土范围，得到主动状态下的侧土压力系数；王志凯[14]采用拟动力法的研究理论，探讨了刚性挡土墙后黏性土的地震主动土压力，但没有考虑土拱效应对其分布的影响.

1 基本原理

1.1 Mononobe-Okabe方法

Mononobe-Okabe方法(简称M-O方法)假设在地震作用下，挡土墙后的填土达到极限状态时出现滑裂面为平面的滑动楔体，如图1所示，整个楔体为刚性，且具有相同的加速度，然后将地震惯性力加入受力体系，对楔体的平衡条件进行分析，得到挡土墙后的无黏性土的地震动土压力合力表达式.在地面为水平面、墙背为非光滑竖直面的情况下，M-O方法的地震土压力合力为[1]：

(1)

式中，kv为竖向地震影响系数，即竖向地震加速度与重力加速度的比值；γ为墙后土的重度；H为墙高；β为滑裂面倾角；φ为墙后土的内摩擦角；ψ为地震角；δ为墙后土体与墙背之间的外摩擦角.

地震土压力合力Eae随着滑裂面角β变化，当dEae/dβ=0，墙后土体达到地震作用下的极限平衡状态，合力取得最大值，临界滑裂面的倾角为[1]：

(2)

ψ=arctan[kh/(1-kv)]

(3)

(4)

kh(1-kv)

(5)

式中，kh为水平地震影响系数.由式(4)可知，当ψ>φ时没有实数解.另外，需要注意的是，按照式(2)计算墙后土体处于极限平衡状态的滑裂面倾角，当地震影响系数较大时，会出现结果小于0的情况，这表明在地震作用力较大时，挡土墙的破坏机理出现类似静力条件下的坦墙情况，滑动楔体的破坏面已经不再是墙背面，而是在墙后的填土内形成第二滑裂面，此时，式(2)便不再适用，适用的具体临界地震影响系数根据计算土体的摩擦角参数而不同.

图1 M-O方法滑动土楔体的受力模型

1.2 考虑土拱效应的侧土压力系数

考虑土拱效应，采用以下假设[13]：(1)挡土墙后填土和土墙间的抗剪强度准则满足莫尔-库伦准则；(2)墙背与填土间的黏聚力cw与土的黏聚力c满足关系cw=ctanδ/tanφ；(3)土拱为小主应力拱，拱的形状为圆弧形.，

由于挡土墙背对土体的摩擦而产生土拱效应，主动土压力的状态下，作用于墙背的水平向应力已不是小主应力，主应力的方向已发生偏转，形成的小主应力拱迹线如图2.

对于黏性土，墙边的大主应力与水平方向的夹角θ(取大值)为[11-13]：

(6)

其中，N为填土中的大小主应力比，其值为tan2(π/4+φ/2).

采用水平微分单元法计算土压力时，主动侧土压力系数(微元体的主动侧土压力与平均竖向应力之比)为[13]：

(7)

当墙土之间无摩擦时，即δ=0，则不存在土拱效应，此时式(7)简化为[13]：

(8)

此时就退化为朗肯主动土压力系数的公式.

图2 挡土墙后黏性土的小主应力拱迹线

图3 水平薄单元的受力分析

2 分析模型

2.1 基本方程

M-O方法是将土体的滑动楔体当作整体受力分析，本文则是基于M-O方法的基本思想取楔体中的一厚度为dy的水平薄单元进行受力分析，如图3.其中，px为挡土墙的水平反力；py和py+dpy分别为作用于单元顶面和底面的平均竖向应力；τ1和cw分别为挡土墙背与填土间的摩擦力和黏聚力；τ2和c分别为不动土体与滑动土体的摩擦力和黏聚力；r为垂直于滑裂面的不动土体反力；dW为水平薄单元的重力；khdW和kvdW分别为单元的水平和竖直地震惯性力；β为挡土墙后土体滑裂时的倾角，由式(2)确定.

由土层单元的水平力平衡条件得：

pxdy-khdW+(τ2+c)cotβdy-rdy=0

(9)

其中，忽略二阶微量项后，

dW=γ(H-y)cotβdy

(10)

式(9)和式(10)联立得：

px+(τ2+c)cotβ-kvγ(H-y)cotβ-r=0

(11)

由微单元的竖向力平衡条件得：

令满足以下关系式：

px=Kawnpy,τ1=pxtanδ,τ2=rtanφ

(13)

式(11)(12)(13)联立整理可得：

(14)

式(14)为地震加速度均匀分布时竖向地震土压力强度的基本方程.

2.2 地震主动土压力强度

然后，令

(15)

将式(15)代入式(14)，简化为：

(16)

式(16)满足边界条件y=0时，py=0的解为：

(17)

由式(13)可知，作用于挡土墙上的水平地震主动土压力强度为：

(18)

2.3 地震主动土压力合力和作用点

对式(18)积分可以得到水平地震土压力为：

(19)

地震土压力的合力为：

(20)

将式(15)代入上式，得到：

(21)

将式(3)代入式(21)整理后得：

(22)

式(22)的前半部分与式(1)完全相同，后半部分则是由于考虑黏性土的黏聚力而增加的，可以看出按照水平微分单元的平衡条件所得到的结论与M-O方法是一致的.值得注意的是，与无黏性土不同，黏聚力的存在使得土压力的分布存在临界深度，按照强度公式所计算的临界深度以上的土压力为负值，不过，黏性土的抗拉强度很低，通常忽略不计，在计算得到的负压力深度范围内，墙背和土体出现分离，因此临界深度以上的土压力取为0.

为得到地震土压力的合力点，将土压力对挡土墙底取矩，得到：

(23)

地震土压力合力作用点距离墙底的高度为：

(24)

3 分析讨论

3.1 土压力的分布规律

下面对考虑土拱效应的黏性土地震主动土压力的分布规律进行参数分析和讨论.计算算例选取挡土墙高H=10 m，填土的黏聚力c=20 kPa，内摩擦角φ=20°，外摩擦角δ=0.5φ，土重度γ=20kN/m3，首先讨论地震加速度影响系数对主动土压力分布的影响，分别讨论以下两种情况：1)kv一定时，kh取不同值；2)kh一定时，kv取不同值.结果如图4(a)和4(b)所示.

由图4(a)可知，0.27H左右为算例的临界深度，深度以上的土压力为0，深度以下土压力逐渐增大变化.当kh=0，即不存在地震作用时，墙后土的主动土压力大小随深度近似于线性分布，当水平地震影响系数不断增加，即水平方向的地震作用不断增大时，土压力分布的非线性趋势增强，最大土压力值也相应提高，土压力合力作用点位置明显上升，水平地震影响系数对挡土墙后填土的主动土压力的分布影响显著.类似地，竖向地震影响系数也能使土压力分布的非线性趋势加剧，但是影响效果不如水平地震影响系数明显，如图4(b).因此，挡土墙的抗震设计中，合理考虑地震作用对土压力的增大效应很有必要.

(a)随水平地震影响系数的变化

(b)随竖向地震影响系数的变化

(c)随土拱效应的变化

(d)随黏聚力的变化图4 地震主动土压力随深度分布曲线

其次，分析土拱效应对土压力分布的影响.土拱效应主要是由墙背对土的摩擦产生，外摩擦角越大，填土的土拱效应作用就越大，因此拟定kh=0.2，kv=2/3kh，选取δ/φ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.95，得到土压力的分布情况，如图4(c).可见，土拱效应的存在使墙后土体的主动土压力呈非线性分布，且土拱效应越大，非线性分布越明显；同时，黏性土主动压力分布的临界深度和合力作用点高度也随土拱效应的增大而提升，如果在实际工程中不考虑土拱效应，会使设计计算得到的倾覆力矩小于真实力矩，增大了工程的风险，这是需要引起工程师们重视的问题.

最后针对本文选取的黏性土，分析黏性土的黏聚力对土压力的分布影响.取相同的内摩擦角和外摩擦角，且δ=0.5φ，黏聚力c=0～30 kPa，在相同的地震作用下，kh=0.2，kv=2/3kh，墙后的土压力分布如图4(d).可得，黏聚力主要影响土压力分布的临界深度和合力作用点高度，黏聚力越大，主动土压力的临界深度变小，即拉裂区减小，同时土压力合力作用点越低.在实际工程中，采用黏性土在支挡结构后方回填时，应当将黏聚力的影响考虑在计算中.

3.2 理论对比

王志凯[14]讨论了挡土墙后黏性土的地震主动土压力分布，但没有考虑土拱效应的影响，选取算例将本文理论分析的结果与之对比如图5(a)，可见土拱效应使土压力出现了重分布，曲线非线性化加剧，临界深度以下，土压力沿着深度先增大后减小并在墙后的中下部出现极值.

当不考虑黏聚力时，即c=0时，式(7)和式(18)简化为：

(25)

(26)

式(25)和式(26)与卢坤林等[12]考虑土拱效应的挡土墙后无黏性土的地震主动土压力解的形式相吻合.取相同的土体参数和地震影响系数，将本文方法退化为无黏性土的情况，与王克强等[6]、卢坤林等[12]各自得到的土压力分布进行对比，略有差别，但分布曲线的变化规律基本一致，呈现出非线性分布，土压力沿着深度先增大后减小，见图5(b).

图5 地震主动土压力随深度分布曲线的比较

4 结论

(1)本文以地震作用下刚性挡土墙后的黏性土为研究对象，考虑小主应力迹线改变形成的土拱效应，依照Mononobe-Okabe方法的基本思路，推导得出平动模式下地震主动土压力的强度，土压力合力及合力作用点表达式.在此基础上，分析讨论了水平、竖向地震影响系数，引起土拱效应的墙背外摩擦角，黏性土的黏聚力对地震主动土压力的分布或临界深度的影响.

(2)随着水平、竖向地震影响系数的增大，挡土墙后的主动土压力分布由线性向非线性转变，且非线性程度不断加强，同时，土压力强度的最大值增大，合力作用点高度明显地上升.可见，地震作用会改变主动土压力分布曲线的形状.其中，水平地震影响系数比竖向地震影响系数对土压力分布的影响更为显著.

(3)土拱效应取决于墙背摩擦力的大小.土拱的存在使土压力分布的非线性加剧，土压力合力作用点向挡土墙顶部移动，填土的倾覆力矩比未考虑土拱作用时要大.因此在挡土墙设计计算时要考虑土拱效应的影响，以保证结构的安全.

(4)黏性土的黏聚力主要影响土压力分布的临界深度和合力作用点，这与朗肯主动土压力的计算结论是一致的.本文所建立的地震主动土压力的计算方法，在忽略黏聚力时，可以退化为无黏性土的情况，与前人方法的结果相吻合，证明了本文方法的合理性.