质量分布对结构动力特性的影响研究

罗 帅 朱佳洋 杨 浩 陈润之 沈康立

(绍兴文理学院 土木工程学院,浙江 绍兴312000)

0 引言

结构的模态特性是影响结构在地震或风荷载作用下动态响应的基本属性，对于框架结构的抗震分析，在建立结构模型之后，往往直接对模型进行模态分析以得到结构的地震影响系数[1-3]，未考虑服役结构各楼层的质量布置，而这些质量的大小和分布形式会影响结构上惯性力的分布[4]，从而改变结构的动态响应[5-7].

赵峰等[8]采用对悬臂梁结构的附加质量与其结构模态进行了研究，结果表明附加质量可使结构前三阶模态频率发生10Hz的改变；祝文畏等[9]在对框架结构进行模态分析时发现填充墙等竖向质量分布会对框架结构的高阶频率产生很大影响；王磊等[10]研究表明附加质量对于膜结构振动特性有明显影响,在其振动分析中不能忽略；杨秋伟等[11-12]根据附加质量影响结构模态频率的关系，提出了损伤识别的附加质量法.本文拟对结构的楼层荷载考虑成质量之后结构动力特性的变化，研究质量分布对结构的动力特性影响，为结构的抗震设计提供更合理的分析模型，所得结果对结构抗震分析具有指导意义[13-14].

1 结构分析模型

如图1(a)所示，考虑受轴向压应力作用的等截面框架柱单元，我们主要分析由弯曲引起的变形，并假定轴向力的大小不受侧向变形的影响.

侧向变形在柱的中和轴上将引起附加应变，如图1(b)所示，从柱单元中取出一微段ab，长为dx，侧向变形量为dv，在产生侧向变形后，其长度将改变为：

(a)结构模型(mm)

(b)柱单元分析模型图1 框架结构简图

(1)

利用Taylor公式，将上式展开，得到

(2)

忽略高阶项，得到挠度在单元中和轴上引起的附加应变如下：

(3)

(4)

其中Z为柱单元截面上中和轴到考查点之间的间距，将以上二项叠加起来，得到柱单元内的应变如下：

(5)

不妨将单元的应变能分成弯曲应变能与外力做功两部分的和，有

(6)

单元体的弯曲应变能可由下式计算

(7)

其中Vol代表对体积进行积分，把式(5)代入式(7)，并令式d(Vol)=dA·dx其中dA表示微元面积，得到

(8)

已知以下面积分形式

其中A为单元面积，I为单元惯性矩，将这些积分结果代入应变能表达式(8)得

(9)

在上式中E为单元弹性模量.高阶项可以略去，则单元弯曲应变能表达式可以化简为：

(10)

外力P做功可由下式计算

(11)

把式(5)代入式(11)，得到

(12)

显然轴向应变能与弯曲变形无关，在上式(12)中，略去高阶项，则外力做功表达式可以化简为：

(13)

将式(10)和式(13)代入到方程(6)中得到总的单元应变能表达式为：

(14)

用通常的方法去建立一个有限元模型.考虑受轴向压应力作用的等截面柱单元，把坐标原点放在柱截面的形心上，由于柱单元每个结点有一个挠度变形，一个转角，即一个单元共有四个自由度，其广义位移为：

(15)

上标T表示转置，将柱单元的侧向变形v用三次多项式表示：

(16)

则转角为

(17)

上式中a是位移模式的待定参数，它可以由结点的位移表示为：

(18)

化简可得

(19)

所以

(20)

其中N为单元的形函数，根据能量原理，单元的动能可以写成

(21)

上标点表示位移对时间的导数，因此，将分布在构件中的质量集中到各层楼板处建立整体质量矩阵：

(22)

求解可得单元质量矩阵为：

(23)

将分布在楼层中的质量集中到各单元的结点处建立分布质量矩阵：

(24)

将式(23)和式(24)代入式(21)中可得单元质量矩阵：

(25)

根据能量原理，单元的应变能可以写成

(26)

由其中K为单元的刚度矩阵，Kea为弯曲刚度矩阵，Keg为几何刚度矩阵.

由式(10)已知，单元的弯曲应变能为：

由式(20)可得，单元的弯曲应变为：

(27)

求得弯曲刚度矩阵表达式：

(28)

化简可得单元弯曲刚度为

(29)

外力做功，由式(20)可得，单元的轴向应变为：

(30)

求得弯曲刚度矩阵表达式

(31)

求解可得单元几何刚度为：

(32)

通常情况下，上式中当单元受拉时P为正值，单元受压时P取负值，将式(29)和式(32)带入到式(26)中可得单元刚度矩阵：

(33)

新的刚度矩阵考虑了分布质量的重力在框架结构的柱单元中产生轴向压力，改变单元的刚度特性，从而影响系统的动态特性[16]，进一步影响结构的地震响应[17].

表1为图中所示的框架模型的结构设计参数，根据构件的属性及结构的对称性将各层柱归并，按楼层划分为6个单元，7个结点，每结点2个自由度，共14个自由度，因此在整体坐标系下将结点位移矢量在整体坐标系下记为D，则总的位移向量可以表示为：

(34)

表1 框架结构模型设计参数

弹性模量E/GPa单元密度/kg·m-3单元截面积/m2惯性矩I/m4单元长度/mm楼板质量/g分布总质量/g69 2 7004.90 e-51.91 e-1080 2903 000

根据单元结点之间的联接关系和单元局部位移与整体位移之间的对应关系，将按照式(25)和式(33)建立的单元质量及刚度矩阵中的元素置入整体质量和刚度矩阵的相应位置组装成整体矩阵以分析系统的模态特性.

2 参数分析

根据表2中设定的分布质量取值方法，以总质量3 kg为限，分析四种不同的工况，为了对比分析结果在第一种工况中未添加楼层质量并且未考虑轴向力的影响，第二种工况中未添加楼层质量但是考虑了轴向受力构件压力对刚度的影响，第三种工况中每层添加了质量但未考虑轴向力的影响，第四种工况每层添加质量且考虑轴向力的影响.

根据表1中的质量分布状态，采用式(25)和式(33)建立相应的模态分析质量矩阵和刚度矩阵，求得系统的前六阶自振频率列于表3中.

表2 结构分布质量取值

工况分布质量分析工况1st未添加质量未考虑轴向压力2nd未添加质量考虑轴向压力3rd每层添加0.5 kg质量不考虑轴向压力4rd每层添加0.5 kg质量考虑轴向压力

表3 前6阶自振频率

工况1阶自振频率/Hz2阶自振频率/Hz3阶自振频率/Hz4阶自振频率/Hz5阶自振频率/Hz6阶自振频率/Hz1st23.5269.21110.87146.08172.81189.492nd23.5269.21110.87146.08172.81189.493rd14.8243.6069.8492.02109.87119.384th13.8642.6369.6891.04108.91118.89

由表3可知，对于结构未添加质量的空载状态而言，无论是否考虑轴向压力的影响，结构的固有频率变化并不明显，这是因为轴向压力较小，对柱子的侧向刚度影响不大[18]；当结构楼层上均匀分布上质量之后，无论是否考虑轴向压力的影响，结构系统固有频率均下降明显，表明此时分布质量产生的惯性力对结构固有模态产生了不可忽略的影响，进一步，当考虑轴向压力对柱子侧向刚度产生的影响时，系统自振动频率进一步下降，说明荷载作用下结构的轴向压力引起的侧向刚度改变以及质量引起的侧向惯性力对结构的模态特性影响较为明显.

由于当前常用的结构抗震分析中采用反应谱法分析结构地震响应时[19-20]，求得的地震影响系数通常忽略了结构楼层上承受的荷载就是质量的本质，与实际结构的模态特性会产生不可忽略的偏差，本研究进行的质量分布对结构动力特性的影响分析对于结构的地震作用效应分析具有重要的实际意义.

3 结论

在结构抗震分析中结构的振动特性对结构的地震响应特性起着重要作用.本文围绕结构上部质量分布变化引起的结构模态特性变化问题，推导了考虑质量变化的结构模态特性分析方法，结果表明：(1)对于高层结构来说，楼层上分布的质量引起结构侧向刚度改变不能忽略；(2)质量分布产生的惯性力会引起结构模态特性的改变；(3)当前常用的结构抗震分析方法忽略了结构上质量分布对系统模态特性的影响，值得改进.