求解交通流LWR模型方程的高效数值方法研究

冯娟娟　杨苗苗

摘 要 对于交通流LWR模型的数值求解，单元交界面处采用五阶WENO-Z+重构，时间方向的推进采用强稳定的三步三阶Runge-Kutta方法。从而得到了一种高精度、高分辨率以及数值稳定的WENO-Z+格式。结果显示，对激波有良好的捕捉效果，在间断区域没有非物理振荡，是模拟交通流LWR模型的理想方法。

关键词 交通流 高精度 高分辨率

中图分类号：TP301.6 文献标识码：A

1概述

對于交通流理论的研究始于上世纪三十年代，最初是应用概率论方法分析交通流量和车速的关系，1933年Kinzer首次将Poisson分布应用于交通流的分析。在Greenshields的研究基础上，Lighthill和Whitham与Richards各自独立提出了交通流连续介质理论（trafficflowcontinuumtheory），即现在通常所指的LWR模型。LWR模型有易于实现计算的特点，同时从实际的应用来看，对于交通管理和信号灯控制有良好的模拟效果。因此LWR模型具有重要的理论和实际意义，本文以该模型为研究对象。

2 LWR模型

交通流LWR模型的质量守恒微分形式以及速度公式如下：

其中

为时间，为距离，为车流密度，为最大限速，为阻塞密度。交通流LWR模型的偏微分方程为双曲形式，具有明确的质量守恒意义。

3五阶WENO-Z+重构

WENO方法，是近年来广泛使用的一种高分辨率数值计算方法，主要用于双曲守恒律方程的数值求解。WENO方法是在ENO格式的基础上加权构造的，其性能更稳定，对定常问题收敛性更好，它能保证在解的光滑区精度更高，在解的间断区保持陡峭的间断过渡和本质无振荡的优良性质。然而，WENO格式在极值点处精度会降低（例如五阶WENO格式在极值点处会降为三阶）。所以，为了提高WENO格式在极值点处的精度，Borges等通过构造全局高阶光滑因子的方式，提出五阶WENO-Z格式。通过增大非光滑模板所对应的非线性权重的方式构造了WENO-Z+格式，该格式具有比五阶WENO-Z格式更低的耗散性。此格式在解的光滑区域有更好的分辨率，在激波和间断区域可以保持之前的稳定性。

它的新奇之处是在经典WENO格式下添加了全局光滑因子，这样可以提高精度，全局光滑因子是之前光滑因子的一个线性组合。例如，一般情况下，对于五阶WENO-Z格式，全局光滑因子为。

为了减少WENO-Z的耗散，在非光滑模板上增加一个可控的量，理想条件下，它需要满足的要求是：在非光滑模板上，其数值随着的增大而增大以提高分辨率，但是如果在模版内解出现间断时，为防止振荡的出现以及数值不稳定，其数值随着的增大而减小。定义。其中是非光滑模板权重的一个细微增量，实验结果表明取时，效果最好。因此得到了WENO-Z+的非归一化非线性权重为：

在时间方向的推进采用三阶的Runge-Kutta方法：

参考文献

[1] Acker，F.&R.; B. D. R. Borges&B.; Costa.An improved WENO-Z scheme[J]. J. Comput. Phys.，2016（313）：726-753.