性质作图 “认”性可识

邹黎明　浦叙德

1 引言

作图中考试题，也谱出新曲.性质作图，图形中隐藏的特征，是作图切入的关键；2018年无锡市中考作图题的位置从第24题的位置后移到第26题，能力要求大为提高，这个作图题引起了大家的关注.

例1 如图1，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）.

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹.）

（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.

2 试题解析

这种题目的作图究竟怎么完成？其方法是反想，就是假设能够作出，有什么特征呢？（1）从∠ABC=∠AOC=90°，△ABC与△AOC的面积相等，可以得到△ABC与△AOC是全等三角形，相当于这里隐藏了如下特征：斜边公共，面积相等的两个直角三角形全等，很容易想到作出矩形ABCO，这个情况几乎都能够想到.

（2）有没有其他图形呢？从两个全等直角三角形拼出图形，除了矩形，还有是筝形，从∠AOC=∠ABC=90°，得到四边形ABCO有外接圆，从△AOC与△ABC的面积相等，得到AC所在直线是四边形ABCO的对称轴，可以得到AC垂直平分OB，于是得到筝形ABCO的做法，连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.

解 （1）过B作BA⊥x轴，过B作BC⊥y轴.

（2）①如图2，矩形ABCO，从B（6，4），得到A（6，0），C（0，4），y=-23x+4.

②如圖3，连接OB作出OB的垂直平分线AC分别交x轴、y轴于A、C.得到CB=CO，AB=AO，AC=AC，得到△AOC≌△ABC，得到∠ABC=∠AOC=90°，作BE⊥x轴于E，得到OE=6，BE=4，设OA=AB=a，AE=6-a，

得到a2=（6-a）2+42，a=133，A（133，0）；容易得到△AOC∽△BEO，得到

COOE=OABE，得到CO=132，C（0，132），得到y=-32x+132，

lAC：y=-32x+132或y=-23x+4.

点评 从条件中“它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C”，我们自然想到去掉“正半轴”这个限制，也就是直角三角形AOC、BAC位于斜边AC的同侧，这个情况存在吗？

变式 如图1，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4），

请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴的正半轴交于点A、和y轴负半轴交于点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹.）

解析 点M在OB的垂直平分线上，作图可以这样完成：连接OB，作出OB的垂直平分线交y轴于M，连接MB并延长交x轴于A，在y轴负半轴截取OC=AB.如图4中的M，就是图3中的C，类似可以求出lAC：y=23x-525.

这个问题相当于要解决如下问题：

如图5，已知：∠AOC=∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等，延长CO、AB交于M，求证：△MAC是等腰三角形.

点评 这种作图题能力要求比较高，通过反向思考，发掘出题目中隐藏的几何特征，筝形的作图是通过作出OB的垂直平分线与坐标轴的交点来完成.

3 传音

例2 如图6，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上.

（1）∠ACB的大小为 度；

（2）在如图6，所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′.当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）.（2018年天津市中考试题第18题）

解析 （1）AC是3×3正方形的对角线，BC是4×4正方形的对角线，可以得到∠ACB=45°+45°=90°.

（2）我们反向思考假设如图7就是满足要求的点P′，因为∠PAP′=∠BAC，得到∠P′AC=∠PAB，连接P′C，我们从有旋转角的特征希望看到有与△ACP′全等的三角形，我们想到在AB上截取AQ=AC，连接QP，可以得到△ACP′≌△AQP，得到CP′=PQ，要求P′C的最小值，只要研究PQ的最小值，因为点Q是定点，AC是定线段，所以当PQ⊥BC时，PQ取得最小值.

题目中要作出P′，我们考虑能不能把△ABC绕点A逆时针旋转△BAC到△AFL，AC=32，BC=42，∠ACB=90°，AB=52，考虑把AB逆时针旋转△CAB，得到AF=AB=52，F是格点，可以标出，能不能标出L呢？因为FL是7×1长方形的对角线的一部分，网格上从F向左边只有6×1的对角线，这里有一个关键的作图就是作出7×1矩形对角线交点，只要从F向左边第四个正方形对角线交点G就是了，连接FG，FG就是边FL的一部分，只要逆时针旋转∠ABC就可以了，L不需要标出；

这里还有一个重要的特征，P′点确定我们不是通过作CP′⊥FG来完成的，我们把P′C的延长交AB于T，我们在这里要想到PQ∥AC，得到∠PQB=∠CAB，从∠ACP′=∠AQP，得到∠P′CF=∠PQB，所以∠P′CF=∠CAB，因为∠P′CF=∠ACT，得到∠ACT=∠CAB，得到CT=AT，可以得到点T是AB的中点，我们发现AB的中点T可以通过从点A向右边第四个正方形连接对角线作出，这是用无刻度的直尺作出的；图8

解答（2） 如图8，取格点D、E，连接DE得到与AB的交点T，点T是AB的中点，取格点M、N，连接MN与BC延长线交于G，取格点F，连接FG，连接TC并延长交FG于P′，点P′就是要求作的点.

点评 这个题目首先通过绕点A把∠B旋转到∠AFG位置，另一方面通过作出Rt△ABC斜边上中线的反向延长线来确定P′，真是“牛”啊！

例3 （自编）如图9，在直角坐标系xOy上，点A（-4，0），直线x=2，请在图中作出等边△ABC，使得点C在y轴负半轴上，点B在直线x=2上（尺规作图）.

解析 如图10，假设△ABC就是满足题意的等边三角形，作CE⊥AB于E，连接OE，作EF⊥x轴于F，直线x=2与x轴交于M，得到AM=6，AO=4，因为AC=CB，CE⊥AB，得到AE=EB，∠ACE=∠ECB=30°；从EF∥BM，得到AF=FM=3，OF=4-3=1；另一方面关键的是从∠AEC=∠AOC=90°，得到四边形AEOC有外接圆，得到∠AOE=∠ACE=30°，这样只要先确定点E，

等边△ABC就可以作出来.如何确定点E呢？因为E是AB的中点，EF⊥AM，得到AF=FM，所以点E在AM的垂直平分线上，以及作出∠AOE=30°，与边OE交于E，作30°角可以作它的余角60°，也就是第2象限作出一个一条边在y轴的正半轴，一个顶点是O的等边三角形.图11

如图11，作出等边三角形OLZ，作出AM的垂直平分线交OL于E，连接AE并延长交直线x=2于B，以A为圆心，AB为半径作弧交y轴负半轴于C，连接BC，得到等边△ABC.

点评 这个作图必须看出一个有外接圆的四边形，得到特殊角.通过反向思考，发掘出其中的特征，从而确定一些特殊位置的点，进而逐步化解问题，这些题目的难度毫不逊色于传统几何证明题.