中考试题研究

何君青��

2018年中考尘埃落定，各地中考试卷相继出炉，作为一线教师，对本市的中考试题的研究必不可少，教师不仅会在第一时间将试题认真做一遍，更会设计出适合下一届学生的试题讲评课.今年南京市中考试卷第27题构思巧妙、内涵丰富，笔者在深入研究后，感悟颇深，结合之前尝试的“分层教学”模式，设计了一节讲评课，这种模式下的讲评课不仅体现因材施教的教学原则，也有利于对学生个性化进行教育，培养学生的思维能力，同时能更好地提高数学教学的效果，故撰文与同行交流.1 课堂设计

本节课的授课对象是较好的学生，将全校最为优秀的一部分学生挑选出来进行授课，故设计原则应以提升数学能力为主，以2018年南京市中考试题第27题入手，通过变式研究，找寻其中蕴涵的规律.

1.1 原题呈现

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图1，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积.图1

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F.CE的长为x.

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2.

整理，得x2+7x=12.

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索.

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n.

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn.

倒过来思考呢？

（2）若AC·BC=2mn，求证∠C=90.

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积.

分析 本题综合性、探究性较强，考查三角形、圆、三角函数、勾股定理等有关知识，题目注重知识之间的连贯性、几何语言的规范性，更注重学生发散性思维的培养.本题的第1问和第2问做法比较常规，难度不大.第3问要求学生要有转化的思想，化斜为直，从而解决问题.从考查内容上看，本题涉及的内容都是核心考点，如直角三角形的面积、切线长定理、勾股定理，可见题目特别注重对基础知识、基本技能的考查，同时注重对学生知识运用能力的考查，能反映出平时课堂数学活动经验的积累程度；从考查方式上看，本题一开始给予学生适当解题策略指导，降低了题目本身的难度，可以让不同层次的学生都有所收获；从考查意义上看，本题关注知识间的连贯性，将初中三年的知识贯穿在一起，用一个题让学生再次经历三年的学习过程.1.2 数值更换

为了能让学生对上述问题的研究更加深入，笔者决定将∠C=60°的条件更换成∠C=120°.这样让题目涉及的范围更加广泛，从一开始的直角三角形到后来的锐角三角形，再到钝角三角形，研究会十分充分.

变式1 若∠C=120°，用α、m、n表示△ABC的面积.图2

解 如图2，过点A作AG⊥BC，垂足为G.

因为∠ACB=120°，

所以∠ACG=60°.

1.3 找寻规律

变式2 若∠C=α（0°<α<90°），用α、m、n表示△ABC的面积.图3

解 如图3，过点A作AG⊥BC，垂足为G.

分析 此题将原试题中∠C的度数用α（0°<α<90°）进行表示，更具一般性，是中考试题的一般化研究，需要用三角函数表达，难度大大增加.

变式3 若∠C=α（90°<α<180°），用α、m、n表示△ABC的面积.图4

解 如图4，过点A作AG⊥BC，垂足为G.

分析 此题将变式1中∠C的度数用α（90°<α<180°）进行表示，更具一般性，虽然初中阶段研究的是锐角三角函数，但本题的研究并不超纲，对于成绩优秀的学生完成符合.2 感悟思考

2.1 研究适合的题目

当今教育，素质教育流于形式，凡是中考必考的知识一定进行大量的训练，凡是中考不考的知识绝不补充讲解，这一不良教育原则严重阻碍了学生数学能力的发展.所以数学课堂研究适合学生的题目极其重要，中考题都是专家仔细打磨出的精品，是课堂教学中题目的重要来源，若在课堂教学时多去研究、深入探讨，对素质教育的落实和课堂教学改革将起到潜移默化的作用.在对中考题的研究过程中，要让学生主动探究、了解知识来龙去脉，给学生留有足够的时间和空间，让学生经历观察、猜想、分析、综合、归纳和论证等活动，让其亲身体验知识的发生、形成与发展过程，学会研究的策略和方法，发展探究和归纳的能力，获得终身受益的数学素养.

所以研究合适的题目，尤其是中考好题，让学生多研究定有好处，笔者建议在中考试题习题课评讲时，一定要讲透，一节课可以只研究一个题，让学生从不同层面，不同角度提出各种各样的見解，从而形成不同的思路，得出解决问题的不同办法，这样的教学方式学生学习数学才能达到真正的发展.

2.2 找寻适合的规律

苏霍姆林斯基认为：在人的心灵深处，有一个根深蒂固的需要，希望自己是一个发现者、研究者、探索者.数学课堂教学要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.课堂教学内容的选择要有利于学生体验与理解、思考与探索.课堂教学内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系.课堂教学内容的呈现更应注重层次性和多样性.在这种“分层教学”模式下，教师要完全尊重学生的能力，选择合适的课堂教学内容、题目，很有必要.

一道中考题，就是一节课，题目不简单，意义更不“简单”，无论是价值还是作用都值得深思，在适合的教育下自由的呼吸，才能让学生体会到数学能力发展才是学习数学的第一要义.