一道中考试题答案引发的对最短路径问题的再探究

宋永明

在初中数学中，我们研究过“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题.1 一道中考试题答案引发的问题

笔者发现，近年来的各地数学中考试题答案中，基本上是利用以上两个问题之一进行解答，例如下面这道中考题及答案：图1（2016年莱芜中考17题）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2.如图1，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距離为 .图2

解 如图2，取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，因为A1B1=AB=4，点OE为斜边中线，所以OE=B1E=12A1B1=2，

又因为B1C1=BC=2，所以C1E=B1C12+B1E2=22，

所以点C到原点的最大距离为：OE+C1E=2+22，故答案为：2+22.

在实际教学过程中，学生对答案中“点C到原点的最大距离为：OE+C1E=2+22”提出为什么？2 利用“三角形三边关系”对问题进行解答

为此，笔者首先利用几何画板进行了演示，在演示的过程中，我们发现，Rt△ABC在移动的过程中主要存在以下图3、图4两种位置，前者是一般情况，后者是特殊情况，而答案恰好选择了特殊情况，所以学生们想不明白.

通过以上的分析，笔者认为，对于一般情况，借助“三角形的三边关系”，得到OC

两点之间线段最短是一个公理.又名线段公理.人教版教材七年级上册第四章直线、射线、线段、角的4.2直线、射线、线段中是这样学习的：如图5，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线，经过比较，我们可以得到一个关于线段的基

本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线线段最短.

“三角形三边关系”是在人教版教材八年级上册第十一章三角形第一节11.1.1三角形的边中学习的：下面探究三角形三边之间的大小关系.

任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线

路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？

对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定

点，由“两点之间，线段最短”可得：AB+AC>BC.

同理有AC+BC>AB，AB+BC>AC.一般地，我们有三角形两边的和大于第三边.由不等式②③移项可得BC>AB-AC，BC>AC-AB.这就是说，三角形两边的差小于第三边.

“三角形三边的关系”为“两点之间线段最短”的引申内容，二者具有因果的关系，所以笔者认为最短路径问题完全可以利用“三角形三边的关系”进行解答.4 “三角形三边的关系”解决最短路径问题再探究

4.1 三角形三边关系与圆相结合

图6如图6，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）.

A.32 B.2 C.81313D.121313

解 因为∠ABC=90°，所以∠ABP+∠PBC=90°，

因为∠PAB=∠PBC，所以∠BAP+∠ABP=90°，所以∠APB=90°，

所以点P在以AB为直径的⊙O上，

在Rt△BCO中，因为∠OBC=90°，BC=4，OB=3，

所以OC=B02+BC2=5，如图7，对于一般情况，借助“三角形的三边关系”，得到OC-OP

4.2 三角形三边关系与菱形相结合图9

如图9，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是 .

解 过点M作MF⊥DC于点F，连接MC，因为在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，所以MD=2，∠FDM=60°，所以∠FMD=30°，所以FD=12MD=1，所以FM=DM×cos30°=2×32=3，所以MC2=FM2+CF2=3+25=28，

所以MC=27.如图10，对于一般情况，借助“三角形的三边关系”，得到MC-MA′

图10 图11总之，对于最短路径问题，理解是前提，在教学中，要有整体观，不要被一个方法所限制，而是要引导学生观察、分析、类比、反思，从而提高学习效率.同时，我们还要引导学生“知其然”以及“知其所以然”.