反应扩散模型数值解及生物斑图中的应用

艾合麦提尼亚孜·艾合麦提江，开依沙尔·热合曼

(1.和田师范专科学校 数学与信息学院, 新疆 和田 848000;2.新疆大学 数学与系统科学学院, 乌鲁木齐 830046)

在研究经典生物动力系统中，很多模型没有考虑到空间因素而建立差分方程或常微分方程模型来研究生物动力系统生物进化过程。实际上所有动物、植物等生物群体都生活在空间环境中。为了提高研究的准确性，切近现实，在研究某些生物动力系统时，一定要考虑其所在空间和时间中的演化问题[1]。1952年计算机科学之父英国著名数学家 Turing 在论文《形态形成的化学基础》[2]中用一个反应扩散模型成功地解释了某些生物群体表面上的图文，并提出空间斑图的Turing原理，之后他的研究在物理和化学中得到了发展，但是实验中一直未能得到证实。1991年我国理论生物学家欧阳颀在实验中首次发现二维Turing斑图与Turing分岐[3-4]，从而使理论研究有了实验上证据。国内外学者也进行了大量空间斑图的研究。

用反应扩散模型来研究斑图动力学行为是非常有趣和重要的，便于实施有效的利用和控制以及解释某些生物反应扩散系统所呈现出来的各种空间斑图。本文应用几种常用的反应扩散模型通过计算机模拟手段来研究各种斑图结构。

1 生物斑图动力学

生物斑图(pattern)是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，在大自然经常遇到。动物身上的斑图(如斑马、鱼、蛇等)都是生物斑图。生物斑图在动力学中得到广泛研究。动物斑图结构通常是群体之间局部相互作用和扩散形成的，利用反应扩散方程来讨论生物群体的空间结构使得我们能有效解释某些斑图现象。

2 反应扩散模型

自然界经常看到生物斑图，如鱼外表面的花纹以及斑马身上的斑纹等，如图1所示。

为什么会出现这些丰富多彩的纹理形态呢？为了解决这个问题，Turing[2]提出了反应扩散模型，并用一组反应扩散方程阐释，从而有了生物形态发生的化学理论基础。模型中的两种化学反应物质(活化因子和抑制因子)是相互作用的并且独自扩散的，模型表明了这些分子自发地形成稳定的周期性，被称作Turing模型。当反应-扩散模型形成Turing模型时，活化因子(activator)及抑制因子(inhibitor)显示出稳定分布。一般扩散是指浓度和温度等达到均匀分布的现象。但是，反应扩散系统的稳定状态在某种条件下将失去均匀化，并自发形成非均匀化现象，体现出了不同的模样，并且还能说明扩散组织细胞间用化学物质的相互反应来形成形态的现象。

图1 自然界生物斑图形态

3 反应扩散模型稳定性分析

下面对双变量反应扩散系统为例进行线性稳定性分析。双变量化学反应扩散方程的一般形式为：

(1)

令X=X0+x,Y=Y0+y,代入方程经泰勒级数展开，去掉高阶项可得线性微扰方程

代入微扰方程(2)，可得特征方程：

解特征方程，可得色散关系：

其中：

trk=a11+a22-k2(Dx+Dy)=

tr0-k2(Dx+Dy)

(6)

Δκ=a11a22-a21a12-k2(a11Dx+a22Dy)+

k4DxDy=?Δ0-k2(a11Dx+a22Dy)+k4DxDy

(7)

解得

当λk的实部都小于0时，微扰量衰变为0，而系统稳定。有一个λk>0时，微扰变量不断增加，系统的均匀定态解(X0,Y0)失稳。设λk是μ的函数：λK=λk(μ)，临界点μc，λk(μc)=0, ∂λk/∂μ≠0，则μ=μc是系统的一个动力学分岔(支)点。

4 反应扩散系统中的分支问题

生物反应扩散系统所呈现的各种空间斑图的根本原因是非线性分支作用破坏了时间和空间的对称性。这种方程常依赖于各种参数(温度、催化率和扩散率)。当这些参数发生变化时，方程的解的数目和稳定性都可能发生突然的变化。因此，分支分析是理解动力学的关键。

系统的不动点从稳定焦点向不稳定焦点的转换时出现Hopf分支，对应非平衡相变，是指系统从空间均匀定态到对时间的周期振荡态，对应时间平移对称性破缺。当系统在临界点，即trk=0时，如果Δk>0，则系统出现Hopf分支，文献[7]中详细地介绍了Hopf分支。

文献[8]给出Turing分支发生的必要条件，并且给出系统分支区域，见图2。

图2 系统分支区域

5 利用Matlab数值模拟Gray-Scott模型

化学有一个反应扩散系统，称之为Gray-Scott模型[9]，该模型实验证明参考理论分析[10]可以参考斑图实验[11-13]，下面讨论模型不同时间段的数值模拟。

(9)

取初始条件为：

当1≤x,y≤1.5时，

u(x,y,0)=1-2v(x,y,0)

参数取值为：D1=8×10-5，D2=4×10-5，γ=0.024,κ=0.06[10]。由数值微分公式得到下面的离散形式：

(10)

利用Matlab得到的在不同时间段离散结果的图像如图3所示。

6利用Matlab数值模Schnackenberg模型

Schnackenberg 模型[12]最早是在研究三分子自催化反应时提出的。量纲为一方程为：

参数取值为[13]：γ=800,a=0.250, b=0.1, d=20。

初始条件如下:

u0=cos(2πx)cos(2πy)

v0=cos(2πx)cos(2πy)

(12)

利用Matlab得到的不同区间的离散结果图像如图4所示。

我们发现模拟得到的图像与自然界某些生物斑图基本相似，如图5所示。

7 利用Excel数值模拟Gray-Scott模型

对于Gray-Scott模型，同样利用显式差分格式Gray-Scott模型离散形式(10)，有关参数取值如下：dt=0.01, dx=0.05,γ=3，κ=2，D1=0.03,D2=0.033。

图3 Gray-Scott模型的时间演化

图4 Schnackenberg 模型的空间演化

图5 实验结果图与生物图比较

巧妙应用Microsoft Excel的重新计算和迭代计算功能，将通过1 400次迭代计算得到的数据插入曲面图表得到图6。

图6 Gray-Scott模型Excel离散图

8 结果分析

本文以常用的反应扩散模型Gray-Scott模型和Schnackenberg 模型为例，用差分方法，运用Excel和Matlab工具对具有不同的初始条件、不同的空间尺度、不同的时间段的两种模型进行计算机数值模拟，从而得到了各种各样相似于生物斑图结构，通过数值模拟的结果我们发现：不同的区间和时间对斑图形成与形状有一定的影响，但对一定空间标准的群体而言，充分长的周期内生物群体在空间中能表现出一定的空间有序斑图结构。