由实验的发生谈几何概型测度的选择

刘霞

摘要：本文谈了几何概型测度的选择。希望能给我们的教学带来帮助。

关键词：数学教学；几何概型测度；选择

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0097

一、缘起

在本学期开学初的模块解读教研活动中，我校的陈校长对普通高中课程标准实验教科书《必修三》的概率部分做了整体解读，提到自己当年在讲授几何概型时的一次经历，一道几何概型习题他将实验的测度由角度错选为线段的长度，导致求错，但为什么选角度，却一直困扰着他。直到一年后，一个偶然的机会他才真正把原因弄明白。教师尚且如此，那对于刚接触此类问题的学生更是不好把握，尤其在考场上，学生精神紧张，考试时间又有限，所以快速找到解题的突破口，就显得尤为重要。于是会后笔者找到这个习题，就这一类问题认真梳理，并形成了自己的一些想法。

二、问题及解决策略探讨

几何概型与古典概型是概率论中的基础概率模型，二者的每个基本事件发生的概率都是等可能的；古典概型基本事件个数只有有限个，是可数的，学生通过列举可以说是看得见、摸得着的，但几何概型的基本事件却是无限的，需要对原始条件进行等价转化，建构准确合理的基本事件的空间测度，来简化概率计算过程。但是有些看似“等价”的转化，最终却得到了不同的答案，使人们产生困惑，也使我们在做题时不敢轻易给出结论，左右为难，难以下手。比如我们常见的以下问题：

问题1：如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率。

问题2：如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD= ，在线段BC上找一点M，求BM<1的概率。

比较以上两个问题其他条件不变，只是将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，这就导致很多人将这两题混为一谈，测度都认为是线段BC，而将问题1错解为问题2的答案，认为P= = = 但事实并非如此，正因为这一小小的改动，两个问题的情景截然不同，实验发生的背景发生了巨大的变化。解决这一问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。当考察对象为点时，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；点的活动范围构成平面区域或空间区域时，就用面积比或体积比来计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。但无论选择哪种测度解题，都要紧扣几何概型的定义及两大特征。即：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型中事件A的概率计算公式P（A）= 它的两大基本特征一是基本事件有无限多个，二是基本事件的等可能性。定义要求实验中事件的概率只与构成事件区域的测度（长度、面积、角度、体积等）有关，而与它的位置及形状无关，保证基本事件的等可能性是求几何概型求解最基本的要求。让我们回顾刚才的问题，问题2中的实验是直接在BC上取点，考察对象是点，点的活动范围是线段BC，所以实验测度为线段的长度，实验结果是等可能的，而问题1中是在∠BAC内作射线AM，AM与BC相交得点M，两者进行的不是同一个实验，此时点M是由射线AM引发的，AM的动引起点M的动，所以此时若以点M为考察对象，它就不会在BC边上等可能地分布。原因如下：设∠BAM=α则由正弦定理得： = ， BM=sin60°AM，BM与AM不成正比，故当点M由B到C变化时，两者变化的速率不同，导致AM等可能变化时BM却不能等可能变化。所以以线段BM的长度作为事件的测度是不合理的。那么正确的解法是什么呢？让我们不妨回到实验本身，看实验是如何发生的，在直角的内部任意引射线AM，顶点是A，相当于AM绕点A旋转，如图所示AM的旋转轨迹，发现AM会覆盖，所以实验全部结果构成的区域为∠BAC，事件BM<1的区域即为∠BAD。所以正解如下：

【解】 ∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=75°，

在Rt△ADB中，AD= ∠B=60°，

∴BD= =1，∠BAD=30°.

记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.

由几何概型的概率公式得P（N）= =

因此，我们掀起几何概型的“盖头”，发现虽然它将古典概型的有限性推广到无限性，但是保证基本事件的等可能性却是一样的，因此要把握好几何概型的“测度”，不能改变基本事件的性质。这一点在贝特朗悖论的解法中也得到了很好的印证。让我们回顾一下贝特朗问题及其四种解法：半径为1的圆内，随机取一条弦，求该弦长度超过圆内接正三角形的边长的概率。

解法1：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直径PQ 。过点P 作等边三角形，交直径于N ，易证N为OQ的中点，弦AB的长等于圆内接正三角形的边长，并取OP 的中点M。所有与PQ 垂直的弦，与MN 相交时，其弦心距均小于ON ，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）= 。

解法2：首先确定一个点A，将其视为定点，而另外一个点P的位置不定。那么就转化成如右图的情形，那么P点的位置可以由弧AP的长度决定。P點本来可以在圆上任意位置。则总测度为2π，要使弦长大于圆内接正三角形的边长，则P点只能在弧BC上，则事件“弦长度超过圆内接正三角形的边长”测度为 ，故P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）= 。

解法3：考虑弦的中点。对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。这个新圆的面积只有原来那个圆的1/4，因此所求的概率为1/4。

解法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d（即圆的直径长度）。那些符合要求的弦其长度将落在 d与d之间，因此概率是 。

以上四种不同的解法，当思考问题的角度不同时，取弦的方法不同，实际上采用了不同的等可能性假设，相当于进行了四种不同的随机实验，在第一种解法中过一条直径上的点作直径的垂线，弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中确定一个点A，视为定点另外一个点P在圆上任意选取，P在圆周上均匀分布；第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布；第四种解法中所有能作为弦的线段放在一起，长度从0到d是均匀分布的；所以我们在解决几何概型问题时明确实验是如何进行的，由实验本身出发找事件的构成，更容易把握准事件的测度，确保事件的等可能性，避免错误的发生。

（作者单位：山东省泰安第一中学 271000）