高中数学导数试题研究

李海茹

摘 要：导数解题策略中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、构造放缩等数学思想，并且涉及知识面广、综合能力强、技巧性很多、运算量较大，所以对学生在处理导数时所遇见的问题和具体导数试题的解题策略做了研究，力求能够提高学生的逻辑思维意识和解决问题的能力。

关键词：高中数学；导数；试题研究

高中导数部分一直是高中生和教师的重点关注对象，但由于导数知识本身的复杂性、抽象性让部分学生对于导数知识的把握不够到位，再加上少数教师的专业知识不足、教学方法不当，也使得部分学生的导数解题陷入困境。所以学好导数就需要学生反复练习和大量记忆，加上教师优秀的教学方法作为引导，只有两方共同作用，才能真正让学生在导数试题上的成绩获得提高。

一、学生所遇到的问题

首先，导数公式记忆以及运算求解能力薄弱，由于导数中需要记忆的公式比较多，形式复杂，所以很多学生在公式运用方面错误率比较高，比如在复合函数求导过程中以及函数的和差、积商的求导法则容易混淆和遗漏。

其次，学生对导数概念理解不够透彻。部分学生误把导函数为零的解看成是极值点，我们研究函数的性态必须在函数的定义域范围内思考，所以只有明确函数的定义域，求答案的时候才有意义，也就是我们常说的定义域优先原则。在求切线方程的时候，许多学生混淆了点“在”与“过”的区别，如果求曲线在某点处的切线方程，则该点必过切点；若是求过某点的切线方程，则无论该点是否在曲线上都应该另设切点而求解，事实上为防止漏解，学生在做题时都可先另设切点来解。在利用函数图象借助数形结合解题时，往往学生不能够全面考查函数的图象与性质，很多学生只顾函数的片面特性，忽略全面分析函数整体性态与趋势。

最后，部分学生基础扎实但是导数压轴题解题技巧性还是欠缺，另一部分学生的基础还不够牢固，对基本概念理解存在模糊，甚至求导计算还不够熟练，解题欠缺技巧，不能充分结合数学思想方法去解题。

二、导数试题解题策略

1.导数几何意义试题的解题策略

导数的几何意义就是曲线在该点处切线的斜率，用数学术语表示就是这样f′（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率，其切线方程可以写成y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。近年来关于导数几何意义的题型大致分为两种类型，分别是曲线上一点处的切线方程和过一点的曲线的切线方程，前者一般用直接求导法来解决，后者一般用待定切点法来转化解决。

例1.已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=_________________。

本题主要考查多项式函数的导数计算、导数的几何意义等基础知识，应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处”还是“过”。本题求解时，先求导得到切线斜率，再求切线方程，进而利用条件构造关于a的方程求解。

2.用导数研究函数的性态的解题策略

导数是解决函数问题的有力工具，为解决函数的单调性、极值、最值、零点及其个数等问题提供了程序化的解决方法，大大地降低了函数在思维上的难度。

例2.已知函数f（x）=ex-e-x-2x。 （Ⅰ）讨论它的单调性

本题第（Ⅰ）问涉及利用导数求函数的单调性，即求导后利用基本不等式，可得f′（x）≥0，知f（x）为增函数。利用导数求函数单调区间时一定要先确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间；利用导数研究函数极值时要注意对于可导函数、极值点导数必须为零，而导数为零的点不一定是极值点，f′（x）=0是点x0取得极值点的必要条件而非充分条件；求函数的最值与求函数极值的不同，求导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。

3.导数中求参问题的解题策略

高考数学全国卷的压轴题一般都需要求参，关于求参问题覆盖的知识面很广，方法也很多，类型也有好多个。学生面对求参问题普遍存在“入手易、深入难；会而不对、会而不全”等问题。这就需要教师对恒成立求参问题、存在性求参问题、根据函数单调性求参问题、已知零点或极值点求参问题、已知切线方程求参问题进行深入讲解，并对参数分离、数形结合、分类讨论等数学思想进行探究。

例3.设函数f（x）=emx+x2-mx。（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，0）单调递增，在单调（0，+∞）递增；（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范围。

本题的第（Ⅱ）问主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，并求解参数。同时要运用分类讨论、转化化归等数学思想。函数遇到解答题特点经常是起点低、落点高，一般情况下提供的条件非常容易入手，可能是相同条件下单独的小问题，每问均考查不同的知识点，始终要注意在恒成立求参问题时需要合理转化，利用函数的性质求解，使不等式、函数及导数到达完美的统一。

总之，导数在中学数学和大学数学的知识体系中起着桥梁的作用，因此，我们对导数解题策略的研究，将有助于为学生日后学习高等数学奠定基础，并且在学生构建知识的过程中起着承上启下的重要作用。

参考文献：

[1]江承春.“导数和微分及其应用”复习纲要[J].中学数学，1984（4）：24-28，48.

[2]蔡澤.高中数学导数教学的实践探讨[J].高中数学教与学，2013（18）：20-21.

编辑 鲁翠红