三角形“四心”坐标表示及其应用*

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(广州大学数学与信息科学学院,广东 广州 510006)

●关丽娜

(深圳大学数学与统计学院,广东 深圳 518060)

三角形“五心”的向量表示指的是如下定理：

定理1在△ABC中，设P是三角形所在平面上任意一点，则

(1)

其中S△PBC,S△PCA,S△PAB表示有向面积.这个既有面积又有向量的等式(1)，称为三角形“五心”的向量形式.它将三角形“五心”的向量表达式统一起来.这里的“五心”指的是三角形的重心、内心、外心、旁心、垂心.

从形式上看，上述定理当属三角形“五心”的一个几何刻画.我们知道一个数学研究对象如果具有几何和代数上的两种刻画，那么该对象从某种程度上来说是优美的.“数形结合”思想说的就是这样的一种数学美.

数学具有美，三角形“五心”是其中一种数学美.那么用纯坐标(不涉及角度、边长)表示三角形“五心”的坐标也应该有它的优美.遗憾的是，国内少见有对三角形“五心”纯坐标形式进行刻画的文献(对于三角形外心和垂心的代数刻画可参见文献[1]).本文介绍Wildberger教授在文献[2]中引入的符号在刻画三角形重心、外心、垂心、九点圆圆心的坐标表达式中的应用.这种刻画是代数的，笔者利用三角形重心、外心、垂心的坐标表示给出了三角形重心、外心、垂心三点共线的一个证明.

1 符号的规定及例子

Wildberger教授在文献[2]第29页中引入了以下记号：

(2)

符号(2)等号的右边是一个3阶行列式.根据行列式运算法则，得

不失一般性，我们可以定义如下更一般的符号：

(3)

我们先看一些例题：

证明若直线li:Aix+Biy+Ci=0(其中i=1,2,3)三线共点，则

证明由三角形的面积公式可得

评注由例4和例5可知，在式(2)的使用下，三线共点和三点共线的充要条件变得异常简单.

2 符号在表示三角形重心、垂心、外心、九点圆圆心中的应用

有了式(2)的规定，我们可以得到三角形重心的坐标表示，即以下的命题(重心的横坐标详见文献[1])：

命题1设△ABC顶点A,B,C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),则△ABC的重心坐标为

(x1+x2)x1y2+(x1+x3)x3y1+(x2+x3)x2y3-(x2+x3)x3y2-(x1+x2)x2y1-(x1+x3)x1y3=

(x1+x2+x3)(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x3y2-x2y1),

对应于三角形的外心和垂心，有以下两个命题，证明过程详见文献[2].

若设△ABC各边中点分别为D,E,F，各顶点到对边的垂足分别为M1,M2,M3，设△ABC的垂心为H，且设HA,HB,HC的中点分别为N1,N2,N3，则由九点共圆定理可知点D,E,F,M1,M2,M3,N1,N2,N3在△DEF的外接圆上.用式(2)，我们还可以给出这个九点圆圆心的一个坐标表示，即以下命题.X为实心圆点，其证明过程与命题2类似,不再赘述.

命题4[2]设△ABC顶点A,B,C的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),且设线段BC,CA,AB的中点分别为D,E,F，则△DEF的外心为

有了三角形的重心、外心、垂心的坐标表示，接下来我们给出三点共线的一个证明.

定理1[3]△ABC的外心、垂心、重心三点共线(欧拉线).

证明设△ABC顶点A,B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，且△ABC的重心、垂心、外心分别记为G,H,O,则由命题1～3可得点G,H,O的坐标分别为

故点G,H,O共线.

从上面的讨论过程可以看出：和三角形的五心向量表示一样，可以用纯坐标(不涉及边长和角度)将三角形的重心、外心、垂心、九点圆圆心优美地刻画出来.截止目前，笔者依旧没有找到三角形内心的纯坐标表示的相关资料，它是不是也可以用式(2)优美地表示出呢？有兴趣的读者可以自己探讨.