高中数学竞赛不等式应用研究

周莹

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0126-01

不等式作为高中的一部分内容，解法灵活多变，从中可以体现出多种数学思想方法，本文便是从高中数学竞赛不等式解法入手，研究从中可以体现出的数学思想方法都有哪些。

1.不等式与多变量函数极值问题

所谓多变量函数，即是一个函数中有多个变量。而不等式与多变量函数极值问题是在变量或变动因素较多时求取函数的最值。这些变量同时变化，相互制约又彼此独立，相互干扰间常常让同学们无从着手，漫无头绪。其实，就是如此多的变量扰乱了我们的思路，不知该如何是好。所以，我们可以让大多数变量固定，只让少数变量运动，以此来搞清楚各变量之间的数量关系和制约依赖关系，然后让刚刚固定的变量“活”起来，却固定住刚才动着的变量，最终达到解决此类问题的目的。这种方法有个统一的名字，叫控制变量法。

1.1构造二次函数法

如果有一个多变量不等式是二次函数，而且还是齐次的， 那么我们就可以构造出一个只关于其中一个变量的二次函数， 然后再利用二次函数的单调性求其最值或者利用二次函数的图像来分析问题，从而使问题得到解决。其实质是将多变量问题转化为单变量问题求解。

例：设a，b，c为任意三角形的三个内角，对于任意实数L，M，N，求证：L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosc

分析： 根据题意， 首先将特征式整理成关于L的二次函数形式， 再利用二次函数及其方程的有关性质进行推理证明。

证明： 将M，N看成常数，构造关于L的函数

因为L，M，N∈R

f（L）=L2-2（Mcosa+Ncosc）L-2MNcosb+M2+N2

△=4（Mcosa+Ncosc）2-4（M2+N2-2MNcosb）

=4M2（cosa2-1）+8MN（cosccosa+cosb）+4N2（cosc2-1）

=-4（Msina-Nsinc）2≤0

又因为函数f（L）图像开口向上，所以f（L）≥0，故：

L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosc

1.2调整法

所谓调整法，就是由最值存在为依据，首先从与问题实质有联系的较宽要求开始，把条件特殊化，再引入参量，使条件一般化，也是一种从特殊到一般的方法。要注意的是，要使用调整法做题，题中的可能情形只有有限多种。

例：设a，b，c ∈（0，1）满足 + + =2，求abc的最大值。

分析：由题意知，此题的最大值一定存在，所以可以用调整法来解决。由于是求乘积的最大值，我们可以将三个变元调整到全都相等的时候，再运用反证法，使问题得到解决。

证明：当a=b=c= 时，abc= ，下面证明abc不能比 再大了。

若不然，由条件式得

+ + =2 >

将不等式两边同时平方有：

（ ·1+ ·1+ ·1）2> ×3

由柯西不等式有：

（ ·1+ ·1+ ·1）2<（ ）2+（ ）2+（ ）2×3

所以3[a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）]> ×3

？圯a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）> 矛盾。

综上所述，abc的最大值是 。

2.含参不等式的恒成立问题

含参不等式问题即是要确定当不等式恒成立时参数所需要满足的充分条件、必要条件，或者是参数的取值范围及参数的最值等问题。这类题型是近些年来国内、国际数学竞赛中的新兴题型，难度较大且解题思路灵活多变，技巧性较强。本章，笔者根据大量此类例题，总结了8种解决此类问题遵循的方法。包括：最值法、判别式法、灵活确定主元法、数形结合法、正难则反、构造辅助函数法、集合观点转化策略以及分类讨论的方法。下面就让我们来了解一下这几种方法。

2.1最值法

若f（x）是以x为变量的函数表达式，g（a）是以a为变量的函数表达式。求对任意x都成立的a的取值范圍，则：

若有f（x）>g（a）恒成立，则有g（a）

若有f（x）f（x）max

例题.已知函数g（x）=（x+1）lnx-x+1如果xg'（x）≤x2+mx=1，求m的取值范围。

分析：因为要求m的取值范围，而m又混杂在给出的已知条件中，所以首先要分离参数，然后自然就想到如果能求出不等号另一边表达式的最值，那么m的范围就迎刃而解了，所以再用最值法计算。

解：因为g'（x）= +lnx-1=lnx+ （x>0）

所以xg'（x）=xlnx+1

由xg'（x）≤x2+mx+1得m≥lnx-x，

令f（x）=lnx-x，

则，问题就转化成了求函数f（x）的最大值的问题。

因为f '（x）= -1

当00；当x>1时，f '（x）<0。

所以，当x=1时，f（x）存在最大值。

f（x）的最大值为f（1）=-1

所以m≥-1

2.2 构造辅助函数法

对于一些复杂的高次不等式，可以利用构造辅助函数的方法，从全新的角度以全新的观点观察和分析对象，使问题中隐蔽的关系与条件显现出来，将复杂的高次不等式变化成简洁明了的形式，从而简化解题思路。

例题：解不等式 + -a3-5a>0

分析：如果这道题直接将左边通分用解高次不等式的思维来运算会相当麻烦。但注意到 + =（ ） +5（ ），因此我们可以用构造辅助函数的方法尝试解决。

解：将原不等式化为（ ） +5（ ）>a3+5a，令g（a）=a3+5a，则不等式变为g（ ）>g（a）。因为g（a）=a3+5a在R上为增函数，所以原不等式等价于 >a，解得：-1

本论文重点研究总结了不等式应用的两个方面：多变量函数求极值问题以及含参不等式恒成立问题，通过详细的分类以及细致的讲解，初步实现了使同学们今后遇到类似题型能够有方向可循。