对平均数概念的深度挖掘与应用

江苏滨海县正红镇中心小学（224521）

一、平均数的常规教学

教师在引入平均数概念时，常从一些重复性、随机的事件开始，每次事件统计出的数据具有相关性，要么相近，要么在一个恒量附近波动。具体如下：

表1 甲组射击中靶得分情况

表2 乙组射击中靶得分情况

问题：哪一组的射击水平高？

实验模型的设计初衷是为了展现平均数的含义。

学生比较两组运动员射击水平的思路通常为以下两种：

思路一：个体成员之间的水平比较，单独较量。比如A得分为13，B得分为6，A的水平高。

思路二：比较成员相同的数组的总分。比如甲组两名队员的得分为10分和13分，乙组两名队员的得分为11分和10分。13+10＞11+10，甲组总分高，水平高。

事实上，当每组成员（或样本总量）不同时，通过比较总分确定水平高低已经失去公平性和科学性，此时为了更好地揭示各组的整体水平，应采取平均数。

二、挖掘平均数概念的内涵

通过教师的引导，学生能够归结出平均数概念的基本属性：（1）它刻画的是整体水平；（2）它是虚拟数据，是一个参数。

为了使学生的概念学习更加完整和连贯，教师教学平均数概念时应该重点强调以下内容：因为是参数，所以平均数不是直接可测可知的，需要将已知数据进行一定运算才能得出，也就是总数除以份数，损有余、补不足；因为只有平均数这个参数才能代表整组数据的水平，所以在比较两组数据的优势时，需要计算平均数。

正确的教学应该这样推进：从学生已有的生活经验出发，充分挖掘平均数的概念内涵；从概念内涵中衍生出数学统计概念；从数学统计概念中推导计算方法；最后总结出解决问题的实际操作方案。

目前教材设计理念中，直接让学生在应用与计算中学习概念，这样的概念学生不会留下深刻的印象，没有经历建构知识的过程，得到的是固化、死板的概念模型，学习效果差强人意。

三、对平均数概念的深度挖掘与应用

学生的生活中有平均数吗？他们在生活中注意过平均数吗？从何处下手挖掘平均数的概念？经过筛选和提炼学生的日常用语，笔者发现有三个词语特别值得注意，那就是超常发挥、正常发挥和发挥失常。这三个词语在评议考试或竞赛成绩时出现频率很高。笔者发现，这三个日常用语可以反映统计学中的整体水平高低。于是，笔者选取了一分钟踢毽子数来构筑平均数的概念。

材料：四年级毽子兴趣社团社员小明一分钟踢毽子个数为（单位：个）：59，63，64，66，63，69。如果继续踢2分钟，小明大约可以踢多少个？

问题1：有位同学写了“120个”，又觉得不对，大家猜猜这是为什么？

问题2：有位同学回答“138个”，随即也否定了，这又是为什么？

问题3：请大家一起分析，小明2分钟踢毽子多少个比较合理？

对于问题3，学生的回答有以下三种情况：

（1）126个。因为每分钟踢毽子63个出现次数最多。

（2）118个。虽然每分钟63个的次数最多，但是水平太低，低水平不如高水平。

（3）128个。不低不高，正好。

问题4：有的同学认为每分钟是“64个”。可是小明踢了几个回合，都没有踢出“64个”这个成绩来，这个数据是否缺乏事实依据？

问题5：“64个”是没有踢出过的成绩，它与其他数据有什么关系？

关系一：（59+63+64+66+63+69）÷6=64（个）。

关系二：（59+63+64+66+63+69）=64×6。

结论：“64”就隐藏在这些数据之间，它能代表这些数据的整体水平。

经历了五个问题的探究过程后，学生对平均数的理解是曲折的。没有踢出的成绩，却恰好代表整体稳定的水平，这成为争论的焦点。而这种矛盾冲突正是引发学生深入探究的动机。这样教学，事半功倍。