基于反向策略和柯西分布的粒子群优化算法

(内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641112)

粒子群优化[1](PSO)是模拟鸟类捕食行为的仿生算法.该算法具有容易实现、收敛速度快等优点，在组合优化、聚类分析、神经网络训练等方面应用广泛.但该算法易陷入局部最优，所以诸多学者利用余弦函数的对称性对学习因子进行改进[2]，或采用递减指数和迭代阈值[3]、自适应方法[4]、柯西分布[5]等对惯性权重进行改进，均促进了算法的发展.为加快算法的收敛速度和提高全局搜索性能，本文提出基于混沌和反向策略产生初始解，利用柯西密度函数和柯西分布函数对算法进行改进，通过4个经典函数进行测试，并与文献[2]、文献[6]进行对比，仿真结果表明：改进算法的收敛速度更快，搜索结果更有效.

1 粒子群优化算法

在D维搜索空间中，由m个粒子组成，第i个粒子表示空间向量xi=(xi1,xi2, …,xiD)(i=1,2, …,m)，即第i个粒子在D维搜索空间中的位置是xi，其速度为vi=(vi1,vi2, …,viD).记第i个粒子搜索到最好的位置为Pi=(pi1,pi2, …,piD)，整个群体搜索到最好的位置为Pg=(pg1,pg2, …,pgD).粒子的速度-位置方程描述为

(1)

(2)

其中，w是惯性权重，c1和c2为学习因子，c1是“自身认知”，是对自身信息的利用；c2是“社会认知”，是群体间信息共享；r1，r2为[0,1]中服从均匀分布的随机数.

2 基于反向策略和柯西分布的粒子群优化算法

2.1 基于混沌的反向策略机制

利用混沌运动的特点(初值的高度敏感性、遍历性、随机性)[7]进行初始化，可以使种群多样化，避免过于早熟.文章采取Logistic映射进行混沌初始化，其表达式为

Xn+1=μ·Xn·(1-Xn),n=0,1,2,…,N,

其中,0

反向学习[8]指在搜索过程中，同时考虑当前解和它的反向解，当前解有一半的概率比它的反向解更远离最优解，因此，采用基于当前解与反向解的精英选择策略来进行初始化.

2.2 基于柯西密度函数的惯性权重调整

2.3 基于柯西分布函数的粒子位置更新

综合以上改进，对改进办法进行实验：方法一，混沌与反向学习策略进行初始化；方法二，采用式(3)进行调整；方法三，采用式(4)对进行调整；改进算法，综合方法一、二、三进行调整.

3 实验结果与分析

3.1 测试函数与配置

对于上述方法，通过4个典型测试函数来测试：

采用MatlabR2010b，环境：CPU为Intel(R)Xeon(R) E5,2.6 Ghz，内存为8GB，操作系统为Windows7SP1.

3.2 改进方法的有效性测试

分别对方法一、方法二、方法三以及标准PSO进行测试，各运行1 000次后取平均值及标准差，规定：惯性权重为0.5，学习因子都为2，粒子数为30，空间维数为30，结果见表1、2.由表1可知，方法一对单峰函数的寻优效果较好，对多峰函数表现一般；方法二对4个函数的寻优效果都有一定的提高；方法三在Sphere、Griewank的寻优中表现良好.由表2可知，三种方法对解的稳定性均有改进，说明该算法有效.

表1 各方法的最优平均值

表2 各方法下的最优值的方差

3.3 改进算法的比较实验

参数设置为：文献[6]中，c1,c2:1.5～2.5，w=1；文献[2]中采用余弦公式进行参数更新；本文的改进算法采用之前的设置值.实验结论如下：(1)针对单峰函数Sphere，改进算法每次都能找到最优值，但求解Rosenbrock时的改进算法弱于文献[6]，优于文献[2]；(2)针对多峰函数Rastrigin和Griewank，改进算法能够找到最优值(表3)，优于文献[2]和文献[6]；最优值的方差优于文献[2]和文献[6](表4)，这说明算法更加稳定.综上所述，改进算法在收敛精度上有明显提高，能够避免陷入局部最优.

表3 不同粒子群优化算法的搜索结果比较

表4 测试函数的最优值的方差比较

4 结语

针对算法易陷入局部最优的缺点，采用混沌和反向策略产生初始解，能使算法更好地覆盖解空间，产生较好的初始解；利用柯西密度函数对惯性权重进行调整，利用柯西分布函数对位置更新公式进行调整，通过实验来验证三种调整方法的有效性.改进算法在寻优中表现更好，特别是在多峰函数中.