含乘性噪声图像的全变差恢复

王旭东, 吕长青, 赵海旭

(1.广西师范学院 计算机与信息工程学院，广西 南宁 530299；2. 枣庄学院 数学与统计学院，山东 枣庄 277160)

0 引言

乘性噪声广泛存在于合成孔径雷达、航空遥感、医学影像(如光学相干断层扫描技术，Optical Coherence Tomography (OCT))等相干成像系统领域.乘性噪声形成原因是成像目标散射点的相干回波叠加形成相干斑，相干斑在图像上显示为随机散布的小斑点.乘性噪声也因此被称为斑点噪声.乘性噪声极大地降低了图像的质量，导致图像的自动分割、定量分析、目标检测以及其它有用信息的提取受到严重影响，进而影响图像的分割，识别等后续工作[1].

从质量较差的数字影像获得高质量的数字影像一直是人们努力的目标.在国防军事领域，从战场获得的低质量图像中恢复出清晰、高质量的图像可为战争指挥提供更可靠的信息；在航空航天领域，从低质量的航空遥感图像中恢复出高清晰的目标影像是目标精确定位、分析的重要保证；在人命关天的医学成像领域，从获取的低质量医学图像中还原出清晰、细致的图像细节可以辅助医生进行诊断.因此，图像乘性噪声去除问题的研究具有重要的应用意义.

1 国内外研究现状及发展动态分析

乘性噪声的模型为

f=u

(1)

这里f是含乘性噪声的图像，u是要恢复的真实图像，是乘性噪声，一般认为噪声各个点的值是相互独立的并且与图像像素值不相关.假设乘性噪声服从Gamma分布，相应的概率密度函数为

g

(2)

乘性噪声去除问题是逆问题，其目的是从观测到的噪声图像估计出真实图像.为了使该问题的数学模型具有良性可解性，我们需要对该问题的解空间施加一些限制，即利用自然图像的先验信息对待恢复图像进行约束.在图像恢复领域，采用何种约束(正则化或者惩罚)对恢复的效果具有决定性意义.

研究表明，数字图像一般具有局部平稳的统计特性，传统的乘性噪声去除模型假定数字图像具有一定概率统计特征的先验分布，如广义高斯，Gibbs分布等.利用贝叶斯(Bayesian)统计概率模型和变分法，图像的先验概率模型转换成图像的正则化模型，正则项来衡量自然图像的光滑特性.含乘性噪声图像恢复模型可以表示成能量最小化的优化问题.

(3)

其中第一项是正则项，保证恢复的图像具有一定连续性，并起到保护图像边缘的作用；第二项是数据项，也称为保真项.λ为平衡数据项和正则项的全局正则参数.

在(3)式中，当φ(u(x))=|▽u(x)|时，就是Aubert和Aujol利用最大后验概率建立的去除乘性Gamma噪声的非凸模型[2,3](即经典的AA模型).AA模型的建立是去除图像乘性噪声的一个突破性进展，但是AA模型是非凸的，其解不一定是最优解，而且解还依赖于初始化[4].为了改变模型的非凸性，利用对数变换z(x)=logu(x)，通过保留AA模型中的保真项，并用|▽logu|代替AA模型中的|▽u|，JianingShi与YumeiHuang分别提出了严格凸的变分模型[5]和凸模型的分裂形式[6].

以上模型使用全变差作为正则项.就图像来说，边缘是图像的重要特征，因为全变差正则模型在去除图像噪声的同时具有良好的保持边缘的性能，近年来全变差正则模型在图像处理领域得到的了广泛的应用.尽管全变差模型有比较成熟的理论[7-9]和多种求解方法，然而，TV正则仅能有效地逼近分片常数函数.全变差模型在去噪的同时常常导致逐段常数，在图像的光滑区域形成虚假的边缘，从而产生阶梯效应.在纹理区域出现了一定程度的边界过光滑现象.针对上述不足，文献[10-14]分别对正则项进行了改进.改进的正则模型能有效抑制图像中的乘性噪声，并且能够很好地保护图像的边缘信息，但是在恢复图像的同时产生了人为痕迹，影响视觉效果.

后来学者针对全变差的缺陷提出了大量的改进模型.通常来说，对图像处理研究产生较大影响的是广义全变差(Total Generalized Variation，TGV)正则模型.TGV模型是Bredies等学者在2010年提出的[15,16]，在图像处理中应用较多的是二阶TGV模型.TGV是对TV的改进.分片常数、分片仿射函数等多项式函数可以用TGV模型进行有效地逼近.

TGV模型可以对分段常数图像的各种特性进行有效描述，TGV的二阶导数衡量图像平滑区域，TGV的一阶导数衡量图像边缘的跳跃.和通常的TV相比，TGV不但能够避免阶梯效应，而且还具有良好的保边性能.TGV是TV的继承和发展，对于图像处理是有效的.由于TGV具有简单的数学表达形式并能够对图像特征进行有效表达，二阶TGV正则图像处理模型引起了图像处理界的广泛注意[16].2014年，Wensen Feng等提出去除乘性噪声的二阶TGV正则的非凸模型和凸模型[17].

但是由于图像的性质，二阶TGV正则模型具有以下不足.

(1)细节丢失.噪声的存在使得平滑区域并不能很好的确定，弱边缘会被淹没在噪声中，而在平滑过程中，正则项会把小的边缘当作噪声进行平滑，导致一些细节信息会被磨光.

(2)边缘出现模糊现象.在方程的演化过程中，二阶导数对边缘也会起到磨光作用，也就导致图像的边缘模糊[18].

上述基于TV(TGV)正则去除乘性噪声的模型中正则项的参数在各点处是相同的.目前国内外大多数学者使用全局稀疏度控制参数，例如根据经验手动设置，或者根据图像的噪声强度计算一个L1全局的正则化参数.在实际问题中，图像各点处的结构不同，并不完全符合上述先验假定.

TGV正则的一阶导数项和二阶导数项的比例系数的选择方法是依靠经验调节的.实际情况是应该根据图像的不同结构区域(例如边缘和平滑区域)而选择不同的比例系数.

上述全变差模型、TGV正则模型及它们的改进形式(如分数阶扩散模型)都属于全局正则性先验.全局正则性先验假定图像属于某个具有一定光滑性的函数空间(例如：TV空间和Besov空间)，并以定义在该空间上的范数或者半范数的全局正则来对图像进行整体约束，这类模型的求解是在特定的函数空间内进行.这种先验由于具有严格的数学理论而在图像处理界广泛的应用.但全局正则性先验只关注图像的整体正则性，而没有考虑图像中非常多样的局部结构.尽管全局正则性先验在一定程度上考虑了图像像素直接的相关性，但是没有充分利用图像具有大量的相似结构[19].

近几年，随着压缩感知[20,21]理论的突破，图像处理与分析的稀疏表示理论已经成为新的热点研究问题.为了避免 NP 难问题，也常用L1范数来代替L0范数.目前，大多数国内外稀疏表示研究进展集中在提出各种L1范数优化求解算法，来提高图像稀疏性表示以及优化算法的效率.其中E. Candes等人提出了基于迭代重加权的L1范数的压缩感知恢复算法[22]，他们使用加权L1范数来更好地逼近L0范数，并用实验证明了加权L1范数能够获得更高的稀疏度.在他们的方法中，用初始恢复的表示系数的倒数来控制每一个系数的稀疏性.

在文献[5,6]的基础上，基于最大后验概率(MAP)和EM算法，文献[23]提出了迭代重加权全变差去噪模型，该文献使用加权L1范数来更好地逼近L0范数，其权函数取值由最大期望值(Expectation Maximum, EM)算法得到.

假设图像服从Gibbs类型的先验分布：

(4)

其中，c是规范化常数，φ(·)是非负函数，λ是先验分布参数.利用最大后验概率(MAP)易得到文献[2,3]的模型.

u的恢复模型先验是图像各点服从Gibbs类型的分布，在各点具有相同的先验参数.而图像各点的结构并不相同，在模型演化过程要求正则项自适应的根据图像结构来处理，因此上述先验假定与图像的属性并不完全符合.我们可以通过进一步假定图像服从下述的先验分布：

(5)

利用最大后验概率估计(MAP)，我们提出如下泛函极小化问题

(6)

利用对数变换z(x)=logu(x)，将(6)式改写为如下形式

(7)

采用EM算法确定(7)式中的最优权函数λ(x)

(8)

上式表明：基于EM方法的λ(x)应该取为φ(u)关于加权平均的倒数.

文献[24]把迭代重加权全变差去噪模型进一步推广为迭代重加权Hessian矩阵Frobenius范数(F-范数)正则去噪模型.迭代重加权在有效去噪的同时，较好地保留了图像的边缘和细节信息.图1是Lena图像的去噪效果比较.

图1 Lena图像的去噪实验效果比较

由前面的叙述可见，基于L1优化的图像去乘性噪声问题，特别是基于稀疏表示的去乘性噪声问题作为当前图像处理和应用数学研究的前沿技术问题已经在国际上展开，但仍需进一步完善.一般来说，图像在空域及变换域均具有平稳性和结构冗余性，也就是像素与像素之间存在相关关系，尽管全变差模型以及广义全变差模型考虑到了像素点和周围点的关系,但是这类模型不能有效地描述这种相关关系[19].

描述图像的主要困难在于其具有超高的维数，一种有效的方法是采用“分而治之”的策略，也就是将图像剖分成维数较低的小块,并通过对每一块的描述来间接描述整个图像，这种思想类似于逼近论中对复杂未知函数作简单函数分段逼近.最近的去除乘性噪声文献充分利用图像的自相似性，利用相似块组整体结构的先验对图像恢复模型进行约束.例如，在K-SVD 算法[25-27]的基础上Yumei Huang等提出了去除乘性噪声的字典学习模型[28].HOSVD模型[29]综合利用了图像表示的稀疏性和自相似性，对图像的相似块在自适应变换基下进行有效稀疏表示.我们的最近研究[30]表明HOSVD正则模型去除乘性噪声能够取得很好的去噪效果.