有限元分析弹性梁

李涵 陈典

摘 要：本文首先通过对比有限元方法和基本梁理论结果，分析Euler-Bernoulli梁元素和Timoshenko梁元素分别适合应用在细长梁和深梁，同时为深梁建立2D模型，比较不同元素类型与梁理论计算值的差异。

关键词：有限元，2D模型，细长梁，深梁

1 对比有限元分析法与基本梁理论结果

1.1基本梁理论

假设梁的弹性参数：杨氏模量E =2.1*1011N/m2和泊松比v= 0.3，通过基本梁理论绘制两种梁在加载力条件下的剪切力和弯矩，并计算考虑剪切变形和不考虑剪切变形的两种情况下计算最大挠度。利用公式：细长梁考虑剪切变形的情况下，

1.2有限元分析及理论值对比分析結果

使用有限元方法用Euler-Bernoulli（B23）和两种Timoshenko元素（B21和B22）对深梁和细长梁进行分析，通过比较和理论值的差值判断哪种元素适合用在于细长梁，哪种元素更适用于深梁，同时，为了说明梁元素个数对有限元结果的影响，在这两种梁元素情况下，均对梁进行网格化，分为2个元素和10个元素。其中B23：平面中的双节点立方梁，B21：平面中的双节点线性梁，B22：三节点二次梁。根据有限元分析结果，与细长梁、深梁的挠度理论值进行比较，计算分析结果与理论偏差之间的百分比差异，对于Euler-Bernoulli元素（B23，2元素个数），挠度与细长梁理论值百分比差异：在考虑剪切变形的情况下为-0.41%，不考虑剪切变形则无差异，然而与深梁理论值差异在考虑剪切变形时却为-9.71%，不考虑情况下为0%。对于Timoshenko元素（B21，2元素个数）情况下，与细长梁在考虑剪切变形的情况下差异是24.64%，不考虑情况下为24.33%，与深梁在考虑剪切变形的情况下差异是1.055%，不考虑情况下为8.82%。通过对比可以得出，Euler-Bernoulli更适合用于细长梁。对于细长梁，当 且 情况下，通常忽略梁内部的剪切变形，与Euler-Bernoulli梁单元的理论相符，且在Euler-Bernoulli梁元素理论中，横截面总是垂直于中性轴，偏转即为 。对于Timoshenko元素，“剪切变形的百分比差异”明显小于“无剪切变形的百分比差异”偏差，这与Euler Bernoulli梁元素的结论相反，这意味着针对于Timoshenko梁元素，需要考虑剪切偏转，其次，Euler Bernoulli元素对深梁的偏差百分比差异小于细长梁的偏差百分比差异，这意味着Timoshenko元素理论更适合深梁。为了说明梁元素个数对结果的影响，对不同元素（Euler-Bernoulli元素和Timoshenko元素）下的挠度和弯矩也行了偏差百分比计算，结果得到了相同的结论，不论哪种元素，10个梁元素与2个梁元素相比，弯矩曲线更接近理论弯矩曲线，与理论值更相近、更准确。对于比如前面提到的Timoshenko运用了B21和B22进行分析，通过比较弯矩的偏差值，得到B22元素能够比B21元素提供更准确的数据。

2深梁2D模型分析

为深梁重新创建2D模型，并将其与400（20×20）平面应力元素进行网格划分，CPS4，CPS4I和CPS4R元素类型，以及用100（10×10）个二次CPS8元素类型进行分析，比较四种2D元素类型的变形形状和最大位移，并与深梁的B22和B21偏转分析结果进行比较。图1 为在四种元素分析下的偏转形状，从左到右依次是CPS4、CPS4I、CPS4R和CPS8，从变形的形状可以看出，CPS4R图形与其他三种图形相比，存在巨大差异，这是由于CPS4R是4节点双线平面应变元素，其可以产生'沙漏'变形模式，减少了与沙漏控制的集成度，消除剪切锁定，并且在质心处只有一个积分点，这与其他三个元素不同。通过减少积分元素，积分点位于中心垂直平面（在CPS4R元素中），该元素可以从矩形形状弯曲成梯形形状，并且积分点平面将不会经历任何应力，因此它需要是应用于该元件的“人造或外来刚度”以限制这些“无应力”的节点位移，因此变形是零能量模式，它具有变形但没有应变。对于CPS8元素，垂直等参线不改变其长度，水平线和垂直线之间的角度始终保持等于90，厚度应变为0，剪切应变为0。将2D 深梁模型与B21，B22元素类型进行比较，由于上述所提到的，梁单元中的更多元素可以提供更准确的结果，因此，在分析此问题中，只使用梁元素模型的（B21和B22）10个元素的分析结果。与梁单元相比，2D单元模型更大更昂贵，且对于偏转，比较梁模型与理论结果之间的百分比差异后，发现用梁单元的百分比差异小于任何2D模型，且B22给出的结果比B21更准确，毫无疑问，结构元素模型赢使用经济准确的解决方案，因此针对此问题，推荐B2210元素的分析方法。

参考文献

[1] Loula，A.，Correa，M.，Guerreiro，J.and Toledo，E.（2008）.On finite element methods for heterogeneous elliptic problems.International Journal of Solids and Structures，45（25-26），pp.6436-6450.

[2] Pankaj，P.（2016）.Finite Element Methods for Solids and Structures.Edinburgh：University of Edinburgh，pp.1-30

作者简介

李涵，女，河南省南阳市人民，民族：汉 职称：在读博士，学历：在读博士，研究方向：桥梁破坏监测，建筑结构防火。单位：爱丁堡大学工程学院，Scotland第二作者：陈典。

（作者单位：1.英国爱丁堡大学科学工程系；

2.英国格拉斯哥大学机械工程系）