合金冲击波后压力的近似计算①

段耀勇，徐 强，辛督强

(可控中子源工程技术研究中心，西京学院，西安 710123)

0 引言

状态方程描述了物质处于热力学平衡态中压强、温度和密度之间的关系，涉及到多个物理学领域，是基础物理学研究问题之一，也是实验、理论及计算相互结合非常紧密的学科之一。状态方程在材料物理、武器物理、天体物理、地球物理以及高温高压极端物理方面具有极广的应用[1-5]。高功率脉冲功率技术和强激光技术为实验室模拟极端条件下的物质状态提供了有力的技术支持[6-8]。

固体三项式状态方程由三部分组合而成：低压缩率条件下的冷压、离子振动引起的热压及高温高压条件下电子运动引起的热压[2-3,9-10]。这三部分的模型可以相对独立地加以构造：固体冷压拟合了静态高压实验数据和冲击波动态高压实验数据；离子热压基于半经验半理论的Gruneisen状态方程；电子热压或者基于统计的Thomas-Fermi(TF)模型，或者基于等离子体物理学中的类氢平均原子结构模型。在FCZH(Faussurier-Cowan-Zharkov)模型[10]构造中，选取Faussurier类氢平均原子模型[11]和Cowan模型[9]分别计算电子和离子的热压。其中，Faussurier模型可以计算周期表中绝大部分材料的平均原子结构，Cowan模型是包含实验数据拟合的通用离子模型。单质材料的冷能冷压采取了Born-Mayer拟合式[2-3]。文献[10]中列出了FCZH模型的构造框架及相应的计算技术。根据胡-经关系式[12-13]，结合单质金属材料压缩实验值和冲击波数据，进一步推广了单质金属材料的冷压冷能拟合表达式[14]，扩展了单质金属材料状态方程的计算范围。

在前述工作的基础上，本文拟将单质金属材料的状态方程推广到合金状态方程。虽然一些专著[2-4]已经讨论了复合材料状态方程的构造方法，但由于合金材料的实验数据不多，计算和具体分析的实例较少。本文在FCZH三项式状态方程的概念框架内，利用三项式状态方程的特点，提出两种计算合金冲击波后压力的近似方法。以W-Cu合金冲击波实验的详细数据[15]作为对照，对本文提出的方法进行检验，是利用已有单质金属材料的实验结果和相关理论模型预估合金冲击波后压力的有益尝试。

1 基于分压定律的合成方法

1.1 单质金属W和Cu的冲击压缩计算

选择W-Cu合金材料，一方面是文献[15]不仅有单质W和Cu的比较详细的冲击波实验数据，而且W-Cu合金的实验数据也相当全面，这就为各种模型的理论计算提供了比对数据。任何合金材料的理论计算结果，都需与实测数据比对才能检验计算方法和计算模型的可靠程度。

在研究W和Cu组成的合金冲击波后压力之前，对单质W和Cu进行计算，以保证单质金属材料状态方程的精度。Born-Mayer冷能冷压拟合式中(具体拟合方法见文献[14])，对W而言，q=7.148，Q=188.575 GPa，初始密度ρ0=19.254 g/cm3。对Cu而言，q=10.359，Q=49.162 GPa，初始密度ρ0=8.933 g/cm3。图1为FCZH模型计算的Hugoniot曲线上压强p随W或Cu质量密度压缩比δ=ρ/ρ0的关系，其中ρ为W或Cu的压缩终态质量密度。从单质金属冲击压缩的计算结果看，FCZH模型计算的结果是可靠的。

1.2 分压合成方式

根据混合气体的道尔顿分压定律，混合气体的压强等于各组分的分压之和，这是从理想气体的压强公式得到的启发。气体的各组分彼此无关地分布于整个体积中，每个组分的行为就像不存在其他组分一样，压强正比于粒子的摩尔百分比而非质量百分比。将该思想推广到合金压强的近似计算中。文献[2]针对化合物或合金的TF模型介绍了“体积相加方法”，但模型方程系统的求解非常复杂。这里提出的分压合成方法可以在三项式状态方程的框架下执行，尽管这种近似是很粗糙的。

根据W-Cu合金的冲击波压缩实验条件，本文分别针对4组数据进行计算：第1组，W-Cu合金质量混合比为25/75；第2组，质量混合比为55/45；第3组，质量混合比为68/32；第4组，质量混合比为76/24。它们分别对应于文献[15]中表D.8-1～D.8-4给出的实验数值。计算之前，首先将这些质量比转换成相应的摩尔数比，转换公式为

式中mW、mCu分别为合金样品中W和Cu的质量；AW、ACu分别为W和Cu的相对原子质量。

4组质量比对应的摩尔数比分别为：10.3/89.7，29.7/70.3，42.4/57.6，52.3/47.7。图2为第1～第4组的FCZH计算结果与文献[15]给出的实验测量结果的比对情况。从图2计算结果来看，从第1组～第4组，W的摩尔百分比逐渐增加，计算结果越来越精确。与图2(c)、(d)比较，图2(a)、(b)的结果与实测数据偏离比较明显。随着W份量的增加，计算结果与测量值吻合度越来越高。从图2(a)对应的第1组计算结果看，在压缩比较小的情况下，计算结果与实测值相差约2倍。在下节的虚拟单质模型计算中，也会遇到类似情况(见图3(a))。可推测Cu材料的冷能冷压拟合式中可能包含较大误差，因为压缩比较小时冷压占主导地位。冷能冷压拟合有多种函数形式[2-3，5]，不同拟合式存在差异。形成这种现象的具体原因，还不能完全确定。图2(b)的实测结果不光滑，是由于实验中每组合金样品的初始密度总存在有微小的差异[15]，而Hugoniot曲线上每个点的数值直接依赖材料的初始密度，Hogoniot曲线是状态线而非过程线。

道尔顿分压定律尽管是针对混合气体的，但通过本文的计算，将这个思路推广到固体材料的压强计算，在精度要求不高的前提下基本上是可行的。与下面将介绍的虚拟单质材料模型比较，这是在单质金属材料计算完成后的合成方法。此外，需要强调的是，若用质量比来组合压力，则计算结果与实测结果相差很大，也与分压定律的概念直接冲突。

2 虚拟单质材料模型

虚拟平均原子模型可能是最简单的计算合金材料状态方程的方法[2]，根据合金材料的原子序数、相对原子质量和合金材料各组分摩尔百分比，合成一种虚拟单质材料的原子序数和相对原子质量：

(1)

(2)

式中 、分别为虚拟单质材料的原子序数和相对原子质量；ni为合金各组分材料质量的原子数；n为合金材料的原子总数。

文献[15]表D.8-1～D.8-4中第1组～第4组的W-Cu合金，对应的虚拟单质材料原子序数分别为 =33.649, 42.365，48.057，52.517，相对原子质量分别为 = 75.972, 99.273, 114.491, 126.410。它们近似地分别对应于虚拟单质金属材料为：Ge，Mo，Cd，Sb(和接近于对应的真实金属材料)。选虚拟单质材料为金属，是因为实验测量数据中金属材料压缩数据比较全面，而且合金成分也是金属。此外，还考虑到非金属材料的实验数据相对缺乏。虚拟单质金属材料中离子和电子热压，用与原子序数最接近的金属材料替代，自然会产生误差。但在高温高压范围内，具体原子结构的细节已经不是重要因素，估计这个误差不会很大。

由于是在三项式模型框架内来完成状态方程计算的，其中冷能冷压必须进行单独处理，这点与文献[2]针对TF模型的处理方法不同。在以Born-Mayer方式拟合中，参数q和Q是根据胡-经关系式计算的[12,14]：

(3)

Q(GPa)=300/η(q-2)

(4)

其中，参数b和η分别取自文献[2,16]，它们分别为表征冲击波动态压缩和静态压缩的物理参数。

在合成虚拟单质材料的相应参数时，首先对参数b和η进行摩尔比组合，然后利用式(3)、式(4)计算虚拟单质材料的q和Q值，表1为该方式的计算参数，图3为计算结果。若直接对参数q和Q进行平均，则计算结果与实测结果相差较大，因为这种组合方式不能满足关系式(3)、式(4)。

表1 由组合得到的4组q、Q的平均值

与第一种方法的计算结果(图2)比较看，图3的计算结果更接近于实测值。分别比较图2(a)与图3(a)以及图2(b)与图3(b)，可知计算结果得到了很大的改善。原因可能是第二种方法中冷能冷压拟合参数满足胡-经关系式，而第一种方法较粗糙，没有像第二种方法那样将冷能冷压部分从整体中分离而进行单独处理。胡-经关系式是通过冲击绝热曲线与等熵线在初始点两阶相切的重要性质得出的[17,12]，它在冷能冷压数据拟合中具有关键性作用。

在三项式状态方程框架内，基于分压定律的方法要求合金材料中每种单质材料参数齐全才能计算。基于虚拟单质模型的方法，只要知道合金材料的压缩率η(或弹性模量)以及由冲击波速度与粒子速度的经验关系式中参数b，就可以进行计算。这种方法的要点在于将材料冷能冷压与热能热压分开处理，而将电子和离子热能热压部分等效为某单质金属材料在高温高密度下的状态。正是基于这个思路，虚拟单质模型方法可以进一步扩展到任意复杂凝聚态材料状态方程的计算，使用范围更广。

3 结论

在凝聚态三项式状态方程的概念框架内，本文提出了两种计算合金冲击波后压力的近似方法。第一种方法基于道尔顿气体分压定律，第二种方法是构造合金材料的虚拟单质材料模型，得到以下结论：

(1)与实测值相比，在压缩比较小的条件下，分压定律得到算结果高于实测值，随着W-Cu合金材料中W材料份额的增大，计算结果的精度越来越高。

(2)基于虚拟单质材料模型的计算结果，从总体上看与实测值更接近，计算精度高于基于分压定律的方法。

(3)虚拟单质材料模型，利用了不同温度和密度范围内状态方程各项所起的作用不同以及三部分相对独立构造的特点，分开处理了冷压部分与热压，可以推广到任意混合材料和化合物状态方程的计算。

本文仅考虑由单质金属材料状态方程得出合金材料冲击波后压力的尝试。下一步将根据质量比平均法，计算W-Cu合金激波速度和波后粒子速度。这些物理量的合成方式与冲击波后压力的计算方式是不同的，它们是建立在激波关系式以及比体积和比内能的质量比组合基础上。利用模型计算这些能够与实测数据对比的物理量，有利于探索合金材料状态方程的各种构造方法。