基于GeoGebra的数学探究学习的实践与思考①——以探究四边形全等条件为例

伍春兰 李红云

(北京教育学院数学系 100120)

引言

GeoGebra动态数学教学软件是美国数学教授Markus Hohenwarter2002年创建的，它所占空间小，但将几何、代数、表格、作图、统计、微积分以直观易用的方式动态集于一体，特别是开源共享互动，赢得了世界各国数学教育者的青睐. 现在的中学生只需简单培训，就可基本掌握操作.

在中国知网(http://cnki.net)，截止到2018年1月以“GeoGebra”为“关键词”检索的成果有115份. 除去硕博论文外，公开发表的只有96篇，最早一篇发表于2010年[1]. 发表的与中小学数学教学相关的论文共计72篇，可归纳为三类：GeoGebra功能在中小学教学应用的介绍；基于GeoGebra的中小学教学的研究；借助GeoGebra探究某一具体题目(高考题或习题). 浏览论文，发现基于GeoGebra的探究或实验学习的研究屈指可数.

为了有效落实教育部《教育信息化十年发展规划(2011—2020年)》中提出的在基础教育阶段推进信息技术与教学融合的目标，我们选择GeoGebra软件，探求学生以此为平台开展探究学习的可行性及相应的教学策略. 于是我们与北京市某普通城市初中校合作，开发了“基于GeoGebra的数学实验”的校本课程. 课程对象是该校27名八年级学生，其父母是周边居民或租住在附近的外地打工者. 课程时间是2017年第一学期，共12次课程，每次课时长达90分钟. 课程的主要学习目标是掌握GeoGebra软件的基本功能；借助GeoGebra进行数学实验，提升使用信息技术学习的意愿，培养信息化环境下的学习能力和思维品质.

本文以探究四边形全等条件为例，说明学生如何在GeoGebra环境下探究学习，并引发信息技术与数学学科融合的若干思考.

1 探究

探究四边形全等条件是三角形全等条件探索的延拓，对学生而言有一定的挑战性. 我们的研究假设是学生经历了三角形全等条件的探索后，借助GeoGebra是可以完成四边形全等条件的探索. 为此我们设计并实施了三个阶段活动：探究准备——GeoGebra学习；探究指导——三角形全等条件；自主探索——四边形全等条件.

1.1 探究准备——GeoGebra学习

以任务驱动的方式学习GeoGebra，将其基本功能的学习融入其中. 比如通过三角形的三线(高线、中线和角平分线)的构造，学习了构造三角形、垂线、垂足、高、中点、中线、角平分线、度量角、给角加标记、度量线段、动态文本等方法. 同时在构造数学对象前，启发学生分析数学对象的结构、构造数学对象的要素，在分析和思考的基础上再构造数学对象. 这样学习GeoGebra操作，不仅让学生知其然知其所以然，而且还能达到举一反三、快速掌握的目的.

1.2 探究指导——三角形全等条件

判定两个三角形全等的定理(边边边SSS、边角边SAS、角边角ASA)，义务教育数学课程标准(2011年版)是作为基本事实[2](无需证明)给出的. 不同版本教材基本上都是通过画图，让学生确信分别满足边边边SSS、边角边SAS、角边角ASA条件所画出的三角形与已知三角形全等. 判定定理角角边AAS是作为角边角ASA的推论，直角三角形判定定理斜边直角边HL也是通过画图感受的. 调查显示，两个三角形全等的上述5个判定定理，多数教师会安排4-6课时. 除了AAS，其余4个多数教师会让学生利用尺规画图感知的，其目的是加深对定理的理解. 但很少让学生借助信息技术整体设计，特别是缺少系统的思考：三个相等条件可以判断三角形全等，多一个或少一个条件如何？为什么就5个判断定理？它们的联系是什么？

利用GeoGebra探究三角形全等条件前，我们对学完5个三角形全等判定定理后不久的27名学生调查：“你是如何学习三角形全等判定的”？学生只给出了三角形全等判定的结论，追问学生“老师让你们画图验证了吗”？学生点头，但说不出是怎样画的. 进一步访谈，印证了我们的猜想：学生虽然经历了尺规画图验证，但更多的是按教师规定的步骤操作，多数学生甚至不知道为什么画图.

GeoGebra为5个三角形全等的判定定理的整合设计和系统思考，带来了便利. 指导学生进行三角形全等判定探索时，我们引导学生思考的主要问题有：(1)三角形构成元素有哪些？(2)判定三角形全等需要哪些要素？需要几个要素？(3)如何验证我们的猜想？特别是重点讨论问题(2)，引导学生思考可以逐一增加元素个数或逐一减少元素个数，并有序地将一个元素、两个元素列举出来并利用GeoGebra进行验证，体会“当画出的三角形不能唯一确定时，相当于否定了给出的判定条件”. 当三个条件时，有序地列举出所有三个条件的情况(见表1)，并依次对上述六种情况验证.

表1 三个条件对应相等的三角形

在完成一般三角形探究之后，提出思考问题：两边和其中一边的对角对应相等(边边角SSA)，会得到两个满足条件的三角形，即边边角SSA条件不能判定三角形全等. 如果将三角形特殊化，如等腰三角形、等边三角形或直角三角形，边边角SSA条件是否成立？事实上，这也是进行真正的数学研究的一种思路，即当条件一般化受阻后，再增加条件或条件特殊化，探讨结论是否成立.

1.3 自主探索-四边形全等条件

以学生为主体进行基于GeoGebra探究四边形全等判定条件时，学生经历了以下过程：问题提出、合理猜想、验证猜想、与演绎证明初步联系.

(1)问题提出

发现问题、提出问题是思维的起点，因此我们没有让学生直接探究四边形全等判定条件，而是创设学生提问题的机会：“通过对一般三角形全等判定条件的探索，你觉得有哪些类似问题可以探究”？我们预设的问题来自以下两个方向：特殊三角形全等的判定，如等腰三角形全等的判定条件(从一般三角形到特殊三角形)；多边形全等的判定，如四边形全等判定的条件(从三角形到多边形).

学生并没有如我们预想的方向提出研究问题，而是空泛地提出如何应用三角形全等判定定理解决问题. 这恰是教师教学习惯的真实映照：学完定理，只关注到用定理解决问题(考试的内容)，而漠视对定理的延拓(非直接考试的内容)，致使我们的学生只会解题而对问题本身探索的意识和能力匮乏.

贵州9个地区土壤对Cd的吸附△Go<0，说明吸附反应可自发进行。在相同pH条件下，土壤对重金属的吸附量与初始浓度呈正相关；在不同pH条件下，土壤对重金属Cd的吸附量随pH升高而逐渐增大。

(2)合理猜想

合理猜想四边形全等判定的条件时，有学生类比三角形全等的研究过程，提出可逐一增加对应相等的元素(边或角)个数(1、2、3、4……)或减少元素个数(7、6、5、4……)的探究路径. 也有学生认为四边形判定的条件无需从头开始考察，可以借助三角形全等的已有判定条件，再添加条件的探究思路. 后者思路在教师的启发下得到学生的认同后，学生借助三角形SSS、SAS、ASA及AAS的判断定理，增加一个条件，提出四边形全等判定猜想命题.

在课程中，学生小组合作完成在三角形全等已有判定条件基础上的所有四个条件的猜想并整理、查看是否有重复条件.

(3)验证猜想

以验证猜想1：四条边对应相等的四边形是全等四边形(SSSS)为例，说明验证过程.

学生能将在GeoGebra探究三角形SSS的经验迁移过来，知道这个问题可以转换为已知四边形的4条边长，先求作这个四边形，然后再探讨. 画出满足猜想条件的四边形如果唯一，相当于猜想成立；如果四边形不唯一，则猜想不成立. 为统一，我们先让学生做一个具体的四边形ABCD，其中AB=5，BC=3，CD=2，AD=4，然后再探究四边形ABCD的唯一性问题.

学生借助GeoGebra画图时，遇到一个难题：C点在以B为心半径为3的圆上，D点在以A为心半径为4的圆上，如何确定CD=2. 于是我们启发学生，先将C点取定后，再确定D点(见图1).

图1

图2

图3

(4)与演绎推理初步联系

学生经过探究，发现四个条件的猜想都不成立. 于是引导学生进一步思考，在四个条件基础上加一个什么条件能否判定全等？在五个条件的探究过程中，通过GeoGebra画图找到可以判定四边形全等的条件后，如四个边和其中一个内角(SSSSA)，对于数学能力好的学生，我们尝试让其从演绎推理的角度证明判定条件成立. 事实上，在我们的课堂实践中，有些数学能力好的学生在利用GeoGebra作图验证的过程中，已经开始注意到其中用到了三角形全等条件，并尝试进行证明. 从学生的表现来看，我们相信在这样的探究中能够指导学生从初步的验证到演绎推理的进阶.

2 结论

通过“基于GeoGebra的数学实验”的校本课程的实践，我们得到的结论是：GeoGebra可以为数学教与学搭建高认知的平台.

首先，它解决了“探究学习”的难点问题：创设一个以“学”为中心的“数学实验”情境，使学生愿意并真正有机会自主地探索，这样的情境不借助信息技术是很难完成的. 上述探究四边形全等条件的过程中，至少需要五个条件才能判定四边形全等的结论是学生通过一系列探究活动得出的，在此过程中学生的数学思考得到发展：通过类比推广提出问题；在已有研究基础上做出合理的猜想；探究过程中，根据条件画出图形唯一，就相当于给出了判定条件；探究全等判定条件的过程能够给推理证明以启发. 需要警惕的是，以思维含量极低的问题牵引的操作，被认为是探究的误区.

其次，以课本内容为基础，在学生最近发展区内适度扩展学习的边界，创设校本课程，不仅巩固了课本内容，也拓宽了学生的视野，提升了学习能力. 上述的四边形全等条件的探索就是三角形全等条件的探索方法的迁移，学生探究的过程及结果证明了我们的研究假设：学生可以完成四边形全等条件的探索. 在这个过程中，学生不仅加深了对三角形全等条件的整体理解，同时提升了学生探究的能力. 需要澄清的是，课程标准和考试大纲是针对国家课程的，地方课程和校本课程在学生学有余力及最近发展区内，是可以适度突破的.

第三，为教学整体设计带来了更多的可能，为学生系统思考提供了抓手. 前述的“三角形全等条件的探索”就是教材整体设计的示范，这样的学习不仅可以使学生系统掌握相关的知识技能，而且可以让学生亲身体验一下数学创造与发现的过程，以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力及创新意识，这对于深化教育改革，全面落实核心素养培养目标，将具有重要的促进作用和十分重要的现实意义. 需要指出的是，并列结构的学习内容，“线性”、“并联”方式设计各有利弊，但从思维水平和学习能力的相应提升，以及建立良好的认知结构而言，后者利大于前者.

3 建议

国务院2017年1月颁布了《国家教育事业发展“十三五”规划》，明确提出将大力在全国推进信息技术与教育教学深度融合. 作为数学学科，欲形成“课堂用、经常用、普遍用”的信息化教学新常态，需要强化信息技术与数学教学融合的四个意识：

第一，工具意识. 信息技术是教师教的工具，也是学生学的工具；是呈现、获取数学知识的便捷手段，也是探究、解决问题的有力工具.

第二，学习意识. 信息技术频繁迭代，共享、便捷、功能强大是方向，但作为教学手段也需要学习研磨和与时俱进. 选择易得、易学，突出数学本质的动态数学软件作为日常教与学的手段，是有效且持久开展信息技术与数学教学融合的基础.

第三，课程意识. 信息技术不仅带来的是教与学方式的改变，而且也带来了学习内容的改变，固守显见的考试内容而不顾学生核心素养培养的教学观是不可取的. 在技术极速变化的时代，作为教师应该借助信息技术，适度延拓已有的教学内容，开发校本课程.

第四，发展意识. 信息技术除了可以让学习知识技能变得更直观简单，而且可以提供数学实验的平台，促进学生探究意识和能力的提升. 因此，基于信息技术的探究学习，更需要教师从学生发展的角度，不仅是牵引学生爬上教师精心设计的脚手架操作，还需要从创设发现、提出问题的时机，以及体验分析问题的角度，经历解决问题的全过程.