一种基于压缩感知的卫星图像观测矩阵优化

张择书，郭永飞

（中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，长春 130033）

卫星图像由于包含信息量大、高分辨率等特点，其应用领域十分广阔[1]，包括海洋、森林、矿藏等资源探测，对农、林、畜牧业、植被等作物生长状态的实时监测，利用精准的图像资源绘制科技领域的专业地图等应用[2，3]。由于卫星图像的数据量大，大气云层干扰等，如何对卫星图像进行处理和传输一直是研究人员的关注热点[4]。在此情况下，压缩感知被引入卫星图像处理，对卫星图像的海量图像信息进行观测。压缩感知算法以远远小于奈奎斯特定理的数量对图像进行采样，采样信息冗余极少，可以完整的对信号进行重构[5]。压缩感知理论目前主要包括三个方向的研究：稀疏基的构造，观测矩阵的构造，恢复算法的选择和优化[6，7]。其中，观测矩阵的设计是压缩感知观测卫星图像的关键问题，不但决定了卫星图像大量信息的压缩比，也是卫星图像压缩传输后仍然能够完整保存图像信息的关键。

压缩感知观测矩阵的构造理论一直受到研究人员的重视，其设计理念由Candes等在文献[8]中提出：观测矩阵满足特定有限等距常数（Restricted Isometry Constant，RIC）条件下，压缩感知的重构信号具有唯一性与准确性，在文献[9]中，Candes针对测量矩阵的设计又提出有限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP），观测矩阵RIP的值越大，矩阵性能越优秀。观测矩阵的构造方法归为两类：一类为随机性矩阵。另一类为确定性矩阵。常用的随机性矩阵包括高斯随机矩阵，贝努力随机矩阵[10]，随机性矩阵对一般的图像都可以较好的重构矩阵，但由于矩阵随机生成，信号波动大，鲁棒性不强，而且随机矩阵结构复杂，运行时间长，尤其对于处理拥有大量信息的卫星图像，需要极大的空间存储观测矩阵，所以在实际应用中较难实现。确定性矩阵有很多种，包括多项式观测矩阵，线性代数观测矩阵等。这些矩阵的特点是只要矩阵的构造参数一定，矩阵的构成元素就确定下来，且不可更改。但这些矩阵不能根据图像任意设定观测矩阵的大小，对观测不同规格的卫星图像有很大限制[11]。两类构造方法各有优势，为了弥补各自的不足，本文针对卫星图像的处理，在压缩感知算法的基础上，融合两种观测矩阵构造方法，提出了一种新的部分确定高斯随机矩阵作为观测矩阵，在发送端对卫星图像进行观测，接收端使用OMP算法对卫星图像进行重建。实验结果表明，对比传统的高斯随机矩阵、贝努力随机矩阵、哈达玛矩阵等观测矩阵，使用新的观测矩阵，可以提高卫星图像的重构质量，并增强观测信号的抗干扰能力。

1 压缩感知理论

压缩感知打破了传统的奈奎斯特定理，在稀疏理论的基础上，前提条件是观测信号是稀疏或者可压缩的信号，设置一个低维的观测矩阵，将信号投影到低维空间，然后利用已知的观测矩阵和稀疏基，采用范数逼近的思想，重建原始信号。其具体过程框图如图1所示。

图1 压缩感知原理框图

压缩感知对信号的观测过程如下：原始信号x，长度为N，观测矩阵Φ，为M×N维矩阵，且M＞＞N，压缩感知观测信号的前提是x为稀疏或者可压缩信号，如果x中含有k个非零值，N＞＞k，则k称为信号的稀疏度。Ψ作为稀疏训练序列，原始信号x可由稀疏训练序列Ψ和一组变换列向量q表示：

使用测量矩阵Φ对原始信号x进行观测，得到测量值y

把以上两式合并，可得到

其中，Γ=Φ⋅Ψ，维度为M×N。

压缩感知的重构可以看作是利用测量值y、观测矩阵Φ和训练序列Ψ采用不同的算法恢复出原始信号x，这个过程可通过求解范数来进行。得到估计信号x的变换列向量

qi满足关系式：

lp范数是压缩感知的重要概念，代表解向量中非零元素的稀疏度，当p的取值不同时，lp范数重构的效果也会不同，一般常用l0范数进行重构，通过求解l0范数，压缩感知的重构过程可以用以下模型描述：

压缩感知的重构算法有很多种，包括BP、MP、SP、OMP、SBL等，综合各种算法的性能，本文采用OMP算法作为压缩感知对卫星图像观测的重构算法。

2 基于卫星图像的压缩感知观测矩阵设计

卫星图像采集对地图像信息，随着技术的发展，其数据量越来越庞大且包含信息繁杂，使用压缩感知算法，采用适合的观测矩阵，不但能极大压缩传输数据量，而且能在接收端得到完整的重构图像。传统的压缩感知最多采用的是高斯随机矩阵作为观测矩阵，高斯随机矩阵生成简单，可根据图像大小，随时调整观测矩阵大小，并且由于矩阵随机产生，观测矩阵和稀疏基几乎完全不相关，对任何图像都能很好的重构。但也由于高斯矩阵的随机性，每次重建图像的精确比都不一样，观测到的信号极易受到外界噪声影响，抗干扰能力差。本文设计了基于奇异值分解的部分确定高斯矩阵，通过奇异值分解矩阵，得到高斯随机矩阵精准、稳定的特征描述，保留了高斯矩阵的随机特性，并在此基础上，把矩阵的大部分元素设置为确定值，可以节省存储空间，且极大的提高了传输效率，尤其对于数据量巨大的卫星图像，部分确定的高斯矩阵优势明显。

具体设计步骤如下：

1）输入原始卫星图像x，判断图像维数，如果x＞2，则对图像进行灰度化处理；

2）由于卫星图像x数据量巨大，进一步对图像进行imresize缩放处理；

3）设置傅里叶变换矩阵作为稀疏基Ψ，Ψ∈RN×N，将图像稀疏化；

4）产 生符 合标 准正 态分 布f(x)=ae-（x-b）×（x-b）/（c×c）的随机矩阵 Φ ；

5）生成的高斯随机矩阵Φ作为观测矩阵，Φ∈RN×N，rank(Φ)=r，r≤N；

6）对随机矩阵Φ进行奇异值分解，Φ=UAVT=，其中，A为广义对角矩阵，U，V为正交矩阵；

7）生成M×N的全1矩阵B，E=（-1）·B+A，用E作为观测矩阵，对x进行观测。

3 实验仿真及其分析

实验仿真平台使用MATLAB软件，用压缩感知算法对分辨率为2.5米的山体滑坡卫星图像进行重构分析，重构算法为OMP，稀疏基为傅里叶变换矩阵，分别采用本文的部分确定高斯矩阵、高斯随机矩阵、贝努力随机矩阵、部分哈达码矩阵、稀疏随机矩阵等5种矩阵作为压缩感知的观测矩阵，对原始图像进行观测，得到的卫星图像原始和重构图像如图2（a）-（f）所示。

由图2对比可知，采用这五种矩阵作为观测矩阵都可以重构图像，本文提出的部分高斯随机矩阵在视觉上效果更加优化，尤其细节部分更加清晰，为了进一步得到量化的对比，我们对卫星图像沿用图像信号的评价指标PSNR，其表达式为：

其中，图像最大灰度值MAXI、最大峰值信噪比PSNR（dB），PSNR值越大，卫星图像的传输损失越小，重构效果越好。图3为对5种观测矩阵进行50次测量得到的重构PSNR值。

图2 5种不同观测矩阵对卫星图像的重构图像

图3 不同观测矩阵50次重构图像PSNR对比

由上图可知，稀疏随机矩阵、贝努力矩阵和高斯随机矩阵的重构效果近似，部分哈达码矩阵重构效果略好，PSNR比前三种矩阵高1dB左右，而本文提出的部分确定高斯矩阵由于综合了随机性矩阵和确定性矩阵的优势，比传统观测矩阵重构效果更好，PSNR提高3dB左右。下面我们进一步引入归一化均方误差MSE和相关系数来观察重构图像质量。

I(i,j)为原始图像，J(i,j)为重构图像。不同观测矩阵的测量数据如表1所示：

表1 不同测量矩阵重构图像的MSE、PSNR和相关系数表

相关系数表示重构图像与原图的相关程度。当其值为1时代表两幅图像完全一样，因此相关系数无限接近于1。由上面表格可以看出，本文提出的部分高斯矩阵相关系数提高了0.03，重构的图像比其他矩阵更加接近原始图像，并且MSE误差减小约50%，减少了卫星图像在传输中的信息损失，提升了重构图像质量。

PSNR的统计学特性包括最大值、最小值、均值、方差。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。下面我们再根据表格数据看一下重构图像的波动性。表2为不同观测矩阵50次测量的PSNR统计特性信息。

表2 不同观测矩阵50次测量的PSNR统计特性信息

由表格数据可知，经过50次对卫星图像测量重构，本文部分确定高斯矩阵作为测量矩阵，重构图像PSNR均值比传统观测矩阵最大值提高约3.5dB；最小值提高约3dB；均值整体提高3dB；传统测量矩阵方差在0.1左右，本文的部分确定高斯矩阵方差则大大减少，达到0.01。由此可见，本文提出的观测矩阵不但提高了图像的恢复质量，而且极大地减少了数据的波动性，增强了信号对噪声的抗干扰能力。

4 结论

本文融合了压缩感知观测矩阵的确定性构造和随机性构造的优点，提出了一种部分确定的高斯矩阵，作为压缩感知的观测矩阵，对数据量巨大的卫星图像进行观测并重构。实验表明，与高斯矩阵、贝努力矩阵，部分哈达码矩阵、稀疏随机矩阵等常用的观测矩阵相比，采用部分确定的高斯矩阵，重构图像PSNR提高约3dB，数据波动性从0.1减少到0.01，提高了重构图像的质量，增强了信号的鲁棒性和抗干扰能力。但压缩感知的重构算法普遍采用迭代算法，运行时间长，计算量大，如何减少压缩感知算法的重构时间，有待于进一步的研究。