基于复摆测量法阻尼对转动惯量的影响分析

张心明，王德民，李俊烨，尚春民，胡敬磊

（长春理工大学 机电工程学院，长春 130022）

1 测量转动惯量受空气阻尼的影响

在讨论是否空气阻尼可以影响测量转动惯量的问题，可通过两方面研究，假设，被测物体型心轴到转轴的距离为d，（1）d≠0时，即d=l时，空气阻尼的大小可影响被测物的迎风面积和摆轴长度；（2）d=0时，在空气阻尼的影响下，被测物的性质发生变化，其与表面的大小和光洁程度影响被测物体绕自身纵轴的转动，此时的空气阻力极小，在这种情况下也会影响到复摆托架的摆动[1-4]。在讨论时，可以将空气阻尼简化为与速度的一次方成比例，即：

其中，c为空气阻尼系数，所以，在角度小的情况下，复摆在方面一含一次空气阻尼的振动方程为：

式中：c-空气阻尼系数；l-型心到转轴的距离

由以上可得：

当研究方面二时，设被测弹体半径为R，圆柱体长为b，k1为复摆托架和物体的空气阻尼系数，其含一次空气阻尼的振动方程为：

式中：m0-托架的质量，l0-托架质心到转轴的距离。

上式可化为：

上式与（2）式完全一样，所以方程的解为：

将其对t求一阶倒数得

将初始条件：

代入（3）和（4）式，可解得：

有阻尼时的周期为：

无阻尼振动周期为：

由公式（3）得出相邻周期的振幅峰值之比为：

由上式知，最大振幅呈几何级数衰减，如图1所示。

图1 空气阻尼振幅衰减示意图

由图1可知，空气阻尼不仅使振动周期T发生改变，振动周期增大了倍，且振幅按级数衰减，所以转动惯量的测量精度受到空气阻尼的一定影响，在一些情况下空气阻尼不可以忽略。

在对转动惯量进行测量时，一般情况下是先得到空气阻尼的值，然后对无阻尼周期进行计算，如此进行可以知空气阻尼可以对转动惯量测量值的准确性产生直接影响[5，6]。

由（4）式可推得：对相距m个周期的振幅比取对数为：

只要测得振动周期Td和第i和第i+m个周期最大振幅θi和θi+m，就可求得阻尼为：

令m=1,2,3,4,5，……，进行多次测量。每次测量，取平均值有：

则n的平均值为：

多次测量的平均值，符合假定的正态分布，当，绝对误差为：

假定上述关系式成一次方成正比，在类似于测量阻尼系数较大的物体等，一些特殊情况下无法满足，一些文献已经提出阻尼与速度成二次方比例[7，8]，所以在特殊情况下，可以考虑阻尼与速度的二次方或多次方比例。

2 摩擦阻尼对复摆法测量转动惯量的影响

高精度轴承在工程中普遍使用，在通常情况下这种轴承出现摩擦阻尼时，通常使用扭摆法和复摆法中，虽然这种摩擦阻尼的值并不是很大，但是其对高精度测量时，其影响是必须要注意到的。摩擦的结构如图2（a）所示，可简化为图b的弹簧阻尼系统[9]。

图2 摩擦阻尼的结构

轴承的摩擦阻力矩为：

其中：Q-转轴所受的正压力；f-轴承的摩擦系数；r-轴承的当量半径。

复摆法的摆动方程为：

Q-轴承正压力；f-轴承滚动摩擦系数；r-轴承的当量半径；l-质心到转轴的距离。

上式可以写成：

得出齐次通解为：

非齐次特解为：θ2=c3

所以：

所以方程的解为：

可简化为：

图3 摩擦阻尼振幅衰减图

综上可知，扭摆的振幅只受轴承摩擦阻尼的影响，但不会影响振动周期，摩擦阻尼不会影响转动惯量的测量精度。

3 转动惯量的测量精度受多重阻尼影响

转动惯量的测量，不止一种阻尼对其测量精度产生影响，摩擦阻尼以及空气阻尼相互耦合，一起对测量系统产生作用，影响最终测量结果的精度。

在本文中,主要讨论的是有限的简单无向图。对于实数x,令「x⎤表示不小于x的最小整数;令V(G),E(G),Δ(G)和δ(G)分别表示图G的顶点集合、边集合、最大度数和最小度数,并且简记为V,E,Δ和δ。设V(G),则v的度数d(v)表示的是与v相关联的边数;对于图G的面f的度数d(f),则表示的是面f的边界所围绕的边数,其中每一条割边计算两次。本文中考虑的的曲面是紧的,不包含边界的连通的2-维曲面,并且所有的嵌入都是2-元嵌入。

在使用复摆法对转动惯量进行测量时，空气阻尼与摩擦阻尼的耦合振动方程如式（16）：

在式（17）中，等式右边的单项式和速度的方向相关，因此以半周期进行计算时，在第一个半周期计算中，对角度赋予一个初始值θ0，则，方程（17）转变成方程（18）。

式中：θ1-为第一个半周期。

方程（18）的非齐次方程解分为两部分，分别为所对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，因此方程（18）的其次通解即为：

其解为：

第二个半周期振动方程为：

从而解得：

同理，可得第二个周期的前半周期方程的解为：

同样的方式可以得到其他的周期的解，然而空气阻尼n和摩擦系数f是作为未知量，是通过实验得到的，因此需要将f和n拆开进行考虑，在每个半周期θ的初始值和其终止值的绝对值的差为：

类似的，还可得到第i个半周期的开始值与终止值之差：

通过以上分析可得到，当同时有摩擦阻尼和空气阻尼时，与自由振动相比周期增加、振幅衰减更快、频率下降。

由于方程中前一个半周期的终止值等于后一个周期的初始值，所以有成立，以为例，则有：

一个完整的波，则可得到：

当有m个不重叠的波时有：

上面的几个公式就是空气阻尼与摩擦阻尼分开的理论公式，在应用时，知道其中一个便可以求出另一个。

通过将式（24）和式（25）相减便可以得到空气阻尼与摩擦阻尼的实际测量值：

任何一个完整的从振幅最大时开始的转动周期都满足，于是有：

测定m个连续不重叠周期：

两边取对数：

通过进行实验可知，在对θi进行多次测量后，可以得到精度比较高的n值，通过公式可以得出空气阻尼的大小，通过式（29）可以得出摩擦阻尼的大小，综合两者的值便可以得到转动惯量的大小。

弹体和托架作为一个整体，已知其总质量为3.79kg，总转动惯量 93.4827kg⋅cm2，最大转角振幅()θi由复摆法测得：

共4个连续周期，并测得平均周期Td=1.1462秒，由式（33）求得：

当n=3.36×10-4时，通过式（27）得f=1.01×10-3。

空气阻尼测量误差分析，将（31）式微分得：

绝对误差为：

通过式（33）进行空气阻尼的计算，当m非常大时，可认为θi满足正态分布，等式右边最大振幅测量误差为零。

于是得到式（36）：

通过上述可知，由上公式可知，周期Td和振幅θi的测量精度是影响计算误差的大小的重要因素。所以，只有将周期Td和振幅θi的测量精度提升到一定程度，计算才能更精确。通过式（36）可知，振幅θi测量次数越多，所得空气阻尼n值越精确，且所得相对精度与Td相对精度相同，足以说明n值是可信的，且与测量精度Td的相对误差在一个数量级上。

4 结论

本文讨论与分析了复摆测量法转动惯量过程中的空气阻尼和摩擦阻尼，探讨其影响复摆法测量精度。综上分析可知：复摆的振动周期受空气阻尼影响，而摩擦阻尼只影响扭摆的振动幅值而不影响振动周期，摩擦阻尼不影响转动惯量测量精度的准确性，阻尼对复摆法测量转动惯量的精度有着重要影响，转动惯量测量精度准确性的提搞依赖于扭摆振幅及其周期测量的精度，对提高复摆法测量转动惯量的精度有着重要的理论指导意义和实用价值。